Рівняння Пікара–Фукса

У математиці рівняння Пікара–Фукса, яке назване на честь Еміля Пікара та Лазаря Фукса, це лінійне звичайне диференціальне рівняння, розв'язки якого описують періоди еліптичних кривих.

Означення

Нехай

${\displaystyle j={\frac {g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}}$

є j-інваріантом з модулярними інваріантами ${\displaystyle g_{2}}$ і ${\displaystyle g_{3}}$ еліптичної кривої, записаної у формі Вейєрштрасса :

${\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}.\,}$

Зауважте, що j -інваріант є ізоморфізмом ріманової поверхні ${\displaystyle \mathbb {H} /\Gamma }$ до сфери Рімана ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ ; де ${\displaystyle \mathbb {H} }$ — верхня півплощина і ${\displaystyle \Gamma }$ — модулярна група.

Тоді рівняння Пікара–Фукса має вигляд

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dj^{2}}}+{\frac {1}{j}}{\frac {dy}{dj}}+{\frac {31j-4}{144j^{2}(1-j)^{2}}}y=0.\,}$

Також рівняння може бути записане у самоспряженій формі, без першої похідної:

${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dj^{2}}}+{\frac {1-1968j+2654208j^{2}}{4j^{2}(1-1728j)^{2}}}f=0.\,}$

Розв'язки

Це рівняння можна звести до гіпергеометричного диференціального рівняння. Воно має два лінійно незалежних розв'язки, які називаються періодами еліптичних функцій. Відношення двох періодів дорівнює ^[en]${\displaystyle \tau }$, стандартній координаті на верхній півплощині в теорії еліптичних кривих. Відношення двох розв'язків гіпергеометричного рівняння також відоме в математиці як ^[en].

Рівняння Пікара–Фукса можна привести до форми ^[en], і, таким чином, його розв'язки можна безпосередньо записувати через P-функцію Рімана . Справедливою є наступна рівність:

${\displaystyle y(j)=P\left\{{\begin{matrix}0&1&\infty &\;\\{1/6}&{1/4}&0&j\\{-1/6\;}&{3/4}&0&\;\end{matrix}}\right\}\,}$

У своєму листі до Борхардта Дедекінд визначає j -функцію її похідною Шварца:

${\displaystyle 2(S\tau )(j)={\frac {1-{\frac {1}{4}}}{(1-j)^{2}}}+{\frac {1-{\frac {1}{9}}}{j^{2}}}+{\frac {1-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{9}}}{j(1-j)}}={\frac {3}{4(1-j)^{2}}}+{\frac {8}{9j^{2}}}+{\frac {23}{36j(1-j)}}}$

де ${\displaystyle (Sf)(x)}$ є ^[en] від ${\displaystyle f}$ відносно ${\displaystyle x}$.

Узагальнення

В алгебраїчній геометрії було показано, що це рівняння є дуже спеціальним випадком загального явища, зв'язності Гаусса–Маніна .

Список літератури

• Schnell, Christian, On Computing Picard-Fuchs Equations (PDF)
• J. Harnad and J. McKay, Modular solutions to equations of generalized Halphen type, Proc. R. Soc. Lond. A 456 (2000), 261—294,
• J. Harnad, Picard–Fuchs Equations, Hauptmodul and Integrable Systems, Chapter 8 (Pgs. —) of Integrability: The Seiberg–Witten and Witham Equation (Eds. HW Braden and IM Krichever, Gordon and Breach, Amsterdam (2000))). arXiv:solv-int/9902013
• Для детального виведення рівняння Пікара-Фукса дивіться: Milla, Lorenz (2018), A detailed proof of the Chudnovsky formula with means of basic complex analysis, arXiv:1809.00533