Рівняння Баркера — рівняння, в неявному вигляді, що визначає залежність між положенням небесного тіла (істинною аномалією) і часом, під час руху параболічною орбітою. Це рівняння широко застосовувалося під час вивчення орбіт комет, орбіти яких мають ексцентриситет близький до одиниці. Нині це рівняння знаходить застосування в астродинаміці
Задача, що приводить до рівняння Баркера
Розв'язок задачі двох тіл дає рівняння траєкторії в полярних координатах у вигляді
де — параметр орбіти; — ексцентриситет орбіти; — справжня аномалія-кут між радіус-вектором поточного положення тіла і напрямком на перицентр. З іншого боку, справедливий другий закон Кеплера
де — константа площ. Виходячи з цих рівнянь легко отримати інтеграл, що зв'язує час і справжню аномалію в точках і орбіти.
Спосіб обчислення цього інтеграла залежить від величини ексцентриситету (див. рівняння Кеплера). Для параболічної траєкторії , в цьому випадку приходимо до тривіального ланцюжка перетворень
Враховуючи, що параметр орбіти пов'язаний з константою площ
де — гравітаційний параметр центрального тіла, а константа площ, у разі параболічного руху
де — відстань до перицентра; — швидкість у перицентрі, яка під час руху по параболі є параболічною швидкістю. Тоді, отримуємо для параметра орбіти і приходимо до остаточного виразу
Тепер приймемо, що початкова точка траєкторії п ерицентр, значить і перетворимо отриману залежність до видгляу
де — середній рух небесного тіла. У підсумку, отримуємо кубічне рівняння вигляду
де , — середня аномалія орбіти небесного тіла. Це рівняння називають рівнянням Баркера.
Рівняння описує неявну залежність істинної аномалії від часу під час руху небесного тіла параболічною траєкторією.
Розв'язок рівняння Баркера
Рівняння
є кубічним рівнянням, записаним у канонічній формі Кардано і має аналітичний розв'язок. Засобами комп'ютерної алгебри легко отримати цей розв'язок, що містить один дійсний і два комплексно-спряжених корені
де
Фізичному змісту задачі відповідає тільки дійсний корінь, тому можна записати
Маючи цей корінь, можна обчислити синус і косинус істинної аномалії
за якими, з урахуванням їхнього знака, визначається справжня аномалія
Див. також
Примітки
- Херрик, 1976, с. 86.
- Рой, 1981, с. 107.
Література
- С. Херрик. Астродинамика. Том 1. — М. : Мир, 1976. — С. 318.
- А. Рой. Движение по орбитам. — М. : Мир, 1981. — С. 544.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Rivnyannya Barkera rivnyannya v neyavnomu viglyadi sho viznachaye zalezhnist mizh polozhennyam nebesnogo tila istinnoyu anomaliyeyu i chasom pid chas ruhu parabolichnoyu orbitoyu Ce rivnyannya shiroko zastosovuvalosya pid chas vivchennya orbit komet orbiti yakih mayut ekscentrisitet blizkij do odinici Nini ce rivnyannya znahodit zastosuvannya v astrodinamiciZadacha sho privodit do rivnyannya BarkeraRozv yazok zadachi dvoh til daye rivnyannya trayektoriyi v polyarnih koordinatah u viglyadi r p 1 e cos ϑ displaystyle r frac p 1 e cos vartheta de p displaystyle p parametr orbiti e displaystyle e ekscentrisitet orbiti ϑ displaystyle vartheta spravzhnya anomaliya kut mizh radius vektorom potochnogo polozhennya tila i napryamkom na pericentr Z inshogo boku spravedlivij drugij zakon Keplera r 2 d ϑ d t c displaystyle r 2 frac d vartheta dt c de c displaystyle c konstanta plosh Vihodyachi z cih rivnyan legko otrimati integral sho zv yazuye chas i spravzhnyu anomaliyu v tochkah A 0 displaystyle A 0 i A 1 displaystyle A 1 orbiti t 1 t 0 p 2 c ϑ 0 ϑ 1 d ϑ 1 e cos ϑ 2 displaystyle t 1 t 0 frac p 2 c int limits vartheta 0 vartheta 1 frac d vartheta left 1 e cos vartheta right 2 Do vivedennya rivnyannya Keplera i rivnyannya Barkera Sposib obchislennya cogo integrala zalezhit vid velichini ekscentrisitetu div rivnyannya Keplera Dlya parabolichnoyi trayektoriyi e 1 displaystyle e 1 v comu vipadku prihodimo do trivialnogo lancyuzhka peretvoren t 1 t 0 p 2 c ϑ 0 ϑ 1 d ϑ 1 cos ϑ 2 p 2 4 c ϑ 0 ϑ 1 1 t g 2 ϑ 2 2 d ϑ t g ϑ 2 z d ϑ 2 d z 1 z 2 p 2 2 c t g ϑ 0 2 t g ϑ 1 2 1 z 2 d z p 2 2 c t g ϑ 1 2 t g ϑ 0 2 1 3 t g 3 ϑ 1 2 t g 3 ϑ 0 2 displaystyle t 1 t 0 frac p 2 c int limits vartheta 0 vartheta 1 frac d vartheta left 1 cos vartheta right 2 frac p 2 4 c int limits vartheta 0 vartheta 1 left 1 rm tg 2 frac vartheta 2 right 2 d vartheta left rm tg frac vartheta 2 z d vartheta frac 2 dz 1 z 2 right frac p 2 2 c int limits rm tg frac vartheta 0 2 rm tg frac vartheta 1 2 left 1 z 2 right dz frac p 2 2 c left rm tg frac vartheta 1 2 rm tg frac vartheta 0 2 frac 1 3 left rm tg 3 frac vartheta 1 2 rm tg 3 frac vartheta 0 2 right right Vrahovuyuchi sho parametr orbiti pov yazanij z konstantoyu plosh p c 2 m displaystyle p frac c 2 mu de m displaystyle mu gravitacijnij parametr centralnogo tila a konstanta plosh u razi parabolichnogo ruhu c r p v p r p 2 m r p displaystyle c r pi v pi r pi sqrt frac 2 mu r pi de r p displaystyle r pi vidstan do pericentra v p displaystyle v pi shvidkist u pericentri yaka pid chas ruhu po paraboli ye parabolichnoyu shvidkistyu Todi otrimuyemo dlya parametra orbiti p 2 r p displaystyle p 2 r pi i prihodimo do ostatochnogo virazu t 1 t 0 r p 2 r p m t g ϑ 1 2 t g ϑ 0 2 1 3 t g 3 ϑ 1 2 t g 3 ϑ 0 2 displaystyle t 1 t 0 r pi sqrt frac 2 r pi mu left rm tg frac vartheta 1 2 rm tg frac vartheta 0 2 frac 1 3 left rm tg 3 frac vartheta 1 2 rm tg 3 frac vartheta 0 2 right right Teper prijmemo sho pochatkova tochka trayektoriyi p ericentr znachit ϑ 0 0 displaystyle vartheta 0 0 i peretvorimo otrimanu zalezhnist do vidglyau n t t 0 t g ϑ 2 1 3 t g 3 ϑ 2 displaystyle n left t t 0 right rm tg frac vartheta 2 frac 1 3 rm tg 3 frac vartheta 2 de n m 2 r p 3 displaystyle n sqrt frac mu 2 r pi 3 serednij ruh nebesnogo tila U pidsumku otrimuyemo kubichne rivnyannya viglyadu S 1 3 S 3 M 0 displaystyle S frac 1 3 S 3 M 0 de S t g ϑ 2 displaystyle S rm tg frac vartheta 2 M n t t 0 displaystyle M n left t t 0 right serednya anomaliya orbiti nebesnogo tila Ce rivnyannya nazivayut rivnyannyam Barkera Rivnyannya opisuye neyavnu zalezhnist istinnoyi anomaliyi vid chasu ϑ t displaystyle vartheta t pid chas ruhu nebesnogo tila parabolichnoyu trayektoriyeyu Rozv yazok rivnyannya BarkeraRivnyannya S S 3 3 M 0 displaystyle S frac S 3 3 M 0 ye kubichnim rivnyannyam zapisanim u kanonichnij formi Kardano i maye analitichnij rozv yazok Zasobami komp yuternoyi algebri legko otrimati cej rozv yazok sho mistit odin dijsnij i dva kompleksno spryazhenih koreni S 1 x 1 x S 2 3 x 2 1 2 x i 3 2 x 1 x displaystyle S 1 x frac 1 x quad S 2 3 frac x 2 frac 1 2 x pm i frac sqrt 3 2 left x frac 1 x right de x 1 2 12 M 4 9 M 2 4 3 displaystyle x frac 1 2 sqrt 3 12 M 4 sqrt 9 M 2 4 Fizichnomu zmistu zadachi vidpovidaye tilki dijsnij korin tomu mozhna zapisati S t g ϑ 2 x 1 x displaystyle S rm tg frac vartheta 2 x frac 1 x Mayuchi cej korin mozhna obchisliti sinus i kosinus istinnoyi anomaliyi cos ϑ 1 S 2 1 S 2 sin ϑ 2 S 1 S 2 displaystyle cos vartheta frac 1 S 2 1 S 2 quad sin vartheta frac 2 S 1 S 2 quad za yakimi z urahuvannyam yihnogo znaka viznachayetsya spravzhnya anomaliya ϑ 0 2 p displaystyle vartheta in 0 2 pi Div takozhRivnyannya Keplera Zakoni Keplera Zadacha dvoh tilPrimitkiHerrik 1976 s 86 Roj 1981 s 107 LiteraturaS Herrik Astrodinamika Tom 1 M Mir 1976 S 318 A Roj Dvizhenie po orbitam M Mir 1981 S 544