Правило частки при диференціюванні

Правило частки — формула для знаходження похідної частки двох функцій.

Якщо ${\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}}$, обидві функції f та g є диференційовними і ${\displaystyle g(x)\neq 0.}$ Правило знаходження похідної h(x) :

${\displaystyle h'(x)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}}.}$

Приклади

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {e^{x}}{x^{2}}}\right)={\frac {\left({\frac {d}{dx}}e^{x}\right)(x^{2})-(e^{x})\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)}{(x^{2})^{2}}}={\frac {(e^{x})(x^{2})-(e^{x})(2x)}{x^{4}}}={\frac {e^{x}(x-2)}{x^{3}}}.}$

• ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\tan x={\frac {d}{dx}}\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)={\frac {\left({\frac {d}{dx}}\sin x\right)(\cos x)-(\sin x)\left({\frac {d}{dx}}\cos x\right)}{\cos ^{2}x}}\\={\frac {(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(-\sin x)}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.\end{aligned}}}$

Правило оберненої функції

Докладніше: Теорема про обернену функцію

Є частковим випадком частки при ${\displaystyle f(x)=1}$:

${\displaystyle h'(x)={\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]={\frac {0\cdot g(x)-1\cdot g'(x)}{g(x)^{2}}}={\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}.}$

Використовуючи диференціювання складеної функції отримаємо такий же результат.

Доведення

з використанням границь

Для ${\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{k\to 0}{\frac {h(x+k)-h(x)}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {{\frac {f(x+k)}{g(x+k)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k\cdot g(x)g(x+k)}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k}}\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {1}{g(x)g(x+k)}}\\&=\lim _{k\to 0}\left[{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+k)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}}}\\&=\left[\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x)}{k}}-\lim _{k\to 0}{\frac {f(x)g(x+k)-f(x)g(x)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}}}\\&=\left[\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)-f(x)}{k}}\cdot g(x)-f(x)\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)-g(x)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.\end{aligned}}}$$.

з диференціюванням добутку

Якщо ${\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}},}$ тоді ${\displaystyle f(x)=g(x)h(x).}$

Використаємо правило добутку ${\displaystyle f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x).}$

Виразимо ${\displaystyle h'(x)}$ та підставимо ${\displaystyle h(x)}$:

${\displaystyle h'(x)={\frac {f'(x)-g'(x)h(x)}{g(x)}}={\frac {f'(x)-g'(x)\cdot {\frac {f(x)}{g(x)}}}{g(x)}}={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.}$

з диференціюванням оберненої та складеної функцій

Для ${\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}=f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}}$, використаємо диференціювання оберненої та складеної функцій:

${\displaystyle h'(x)=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left[{\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}\right]={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.}$

з диференціюванням логарифмів

Для ${\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}.}$ Візьмем логарифми обох частин

${\displaystyle \ln |h(x)|=\ln \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|=\ln |f(x)|-\ln |g(x)|}$

Візьмем логарифмічну похідну обох частин:

${\displaystyle {\frac {h'(x)}{h(x)}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}}$

Виразимо ${\displaystyle h'(x)}$ і підставимо ${\displaystyle h(x)={\tfrac {f(x)}{g(x)}}}$:

${\displaystyle h'(x)=h(x)\left[{\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right]={\frac {f(x)}{g(x)}}\left[{\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right]={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.}$

Похідна другого порядку

Правило добутку дозволяє обчислити похідні вищих порядків. Наприклад, для ${\displaystyle f=gh}$ друга похідна ${\displaystyle f''=g''h+2g'h'+gh''}$ дає

${\displaystyle h''=\left({\frac {f}{g}}\right)''={\frac {f''-g''h-2g'h'}{g}}.}$

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)