Постулат Бертрана

Постулат Бертрана — це теорема, яка стверджує, що для будь-якого цілого числа ${\displaystyle n>3}$, завжди існує щонайменше одне просте число ${\displaystyle p}$ таке, що

${\displaystyle n<p<2n-2.}$

Слабше, але елегантніше формулювання таке: для кожного ${\displaystyle n>1}$ існує щонайменше одне просте число ${\displaystyle p}$ таке, що

${\displaystyle n<p<2n.}$

Є інше формулювання для ${\displaystyle n\geq 1}$, де ${\displaystyle p_{n}}$ це ${\displaystyle n}$-те просте число

${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}.}$

Це твердження у 1845 вперше припустив Жозеф Бертран (1822–1900). Сам Бертран перевірив своє твердження для всіх чисел у проміжку [2, 3 × 10⁶]. Його припущення повністю довів Пафнутій Чебишов (1821–1894) у 1852 і тому, постулат також називають теорема Бертрана-Чебишова або теорема Чебишова. Теорему Чебишова також можна сформулювати як зв'язок між ${\displaystyle \pi (x)\,}$, де ${\displaystyle \pi (x)\,}$ — це функція розподілу простих чисел (кількість простих чисел менших або рівних ${\displaystyle x\,}$):

${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\tfrac {x}{2}})\geq 1,\,}$ для всіх ${\displaystyle \,x\geq 2.\,}$

Примітки

1. Ribenboim, Paulo (2004). The Little Book of Bigger Primes. New York: Springer-Verlag. с. 181. ISBN .
2. Joseph Bertrand. Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu'elle renferme. Journal de l'Ecole Royale Polytechnique, Cahier 30, Vol. 18 (1845), 123-140.
3. P. Tchebychev. Mémoire sur les nombres premiers. Journal de mathématiques pures et appliquées, Sér. 1(1852), 366-390. (Proof of the postulate: 371-382). Also see Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, vol. 7, pp.15-33, 1854