Повна теорія

У математичній логіці, теорія є повна, якщо всі формули або її заперечення є доказовими. Рекурсивні аксіоматизовні теорії першого порядку, яких досить багато, які дозволяють сформулювати загальні математичні міркування, не може бути повними, що є наслідком теорем Геделя про неповноту.

Це значення повноти відрізняється від поняття повної логіки, яка означає, що для кожної теорії, яка може бути сформульована в логіці, будь-яке семантично допустиме твердження є доказовою теоремою на базі аксіом (для відповідного значення "семантично допустимий"). Теорема Геделя про повноту розглядає саме такий тип повноти і стверджуж, що логіка першого порядку є повною.

Повні теорії закриті за низки умов всередині моделювання ^[en]:

• Для набору ${\displaystyle S\!}$: ${\displaystyle A\land B\in S}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle A\in S}$ і ${\displaystyle B\in S}$,

• Для набору ${\displaystyle S\!}$: ${\displaystyle A\lor B\in S}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle A\in S}$ або ${\displaystyle B\in S}$.

Максимальні послідовні набори є основним інструментом в теорії моделей класичної логіки і модальної логіки. Їх існування в даному випадку, як правило, є прямим наслідком Леми Цорна, заснована на ідеї про те, що протиріччя передбачає використання лише кінцеве число приміщень. У разі модальних логік, сукупність максимальних узгоджених множин, що проходять теорію T (закрито під правила посилення) може бути задана структурою моделі T , називається канонічної моделлю.

Приклади

Деякі приклади повних теорій є:

• Арифметика Пресбургера
• ^[en] для Евклідової геометрії
• Теорія щільних лінійних порядків
• Теорія алгебраїчних замкнених полів даної характеристики
• Теорія матеріально замкнутих полів
• Кожен ^[en] рахункова теорія
• Кожен ^[en] рахункова теорія

Дивись також

• ^[en]

Посилання

• Mendelson, Elliott (1997). Introduction to Mathematical Logic (вид. Fourth). Chapman & Hall. с. 86. ISBN .