В скінченновимірному унітарному векторному просторі розмірності n, кожна ортонормована система із n векторів утворює ортонормований базис.
Загальне твердження
В кожному гільбертовому просторі , ортонормована система векторів
утворює ортонормований базис тоді і тільки тоді, коли вона задовільняє наступним умовам:
- Довільний вектор
може бути записано у вигляді:
, де
(k = 1, 2, …)
- Для будь-якого вектора
(рівність Персеваля)
- Для довільної пари векторів
та
- Ортонормована система u1, u2, … не міститься в жодній іншій ортонормованій системі простору
. Для довільного вектора
із (uk, a) = 0 (k = 1, 2, …) випливає, що a = 0.
З кожної із цих чотирьох умов випливають три інших.
Примітки
Звернемо увагу на те, що якщо a та a' — два вектори з одними і тими ж координатами âk то ǁa − a' ǁ = 0 (теорема єдиності).
Джерела інформації
- Корн Г., Корн Т. (1984). 14.7-4. Справочник по математике для научних работников и инженеров (рос.) (вид. друге). Москва: Наука.
Див. також
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет