Обмежена множина

Обмежена множина у математичному аналізі, і прилеглих розділах математики — множина, яка у певному сенсі має скінченний розмір. Базовим є поняття обмеженості числової множини, яке узагальнюється на випадок довільного метричного простору, а також на випадок довільної частково упорядкованої множини. Поняття обмеженості множини не має сенсу у загальних топологічних просторах, без метрики.

Обмежена числова множина

Множина дійсних чисел ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$ називається обмеженою зверху, якщо існує число ${\displaystyle b}$, таке що всі елементи ${\displaystyle X}$ не перевищують ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle \exists b\;\forall x\;(x\in X\Rightarrow x\leqslant b)}$

Множина дійсних чисел ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$ називається обмеженою знизу, якщо існує число ${\displaystyle b}$, таке що всі елементи ${\displaystyle X}$ не менше ${\displaystyle b}$: ${\displaystyle \exists b\;\forall x\;(x\in X\Rightarrow x\geqslant b)}$

Множина ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$, обмежена зверху і знизу, називається обмеженою.

Множина ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$, що не є обмеженою, називається необмеженою. Як випливає з означення, множина не обмежена тоді і тільки тоді, коли вона не обмежена зверху або не обмежена знизу.

Прикладом обмеженої множини є відрізок ${\displaystyle [a,b]=\{a\leqslant x\leqslant b\}}$,

необмеженої — множина всіх цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}}$,

обмеженої зверху, але необмеженої знизу — промінь ${\displaystyle x<0}$,

обмеженої знизу, але необмеженої зверху— промінь ${\displaystyle x>0}$.

Варіації та узагальнення

Обмежена множина у метричному просторі

Нехай ${\displaystyle (X,\rho )}$ — метричний простір. Множина ${\displaystyle M\subset X}$ називається обмеженої, якщо вона міститься у деякій ${\displaystyle B_{r}(a)}$:

${\displaystyle \exists a\in X\;\exists (r>0)\;\forall x\in X(x\in M\Rightarrow \rho (a,x)<r)}$

Множина, що не є обмеженою, називається необмеженою.

На відміну від числової прямої, у довільному метричному просторі можна ввести поняття обмеженої зверху і обмеженої знизу множин.

Крім поняття обмеженої множини для довільного метричного простору існує більш спеціальне поняття цілком обмеженої множини. У випадку числових множин це поняття збігається з поняттям обмеженої множини.

Обмеженість у частково впорядкованій множині

Поняття обмеженої зверху, обмеженої знизу і просто обмеженої множини можна ввести у довільній частково впорядкованій множині. Ці визначення буквально повторюють відповідні визначення для числових множин.

Нехай ${\displaystyle (P,\leqslant )}$ — частково впорядкована множина, ${\displaystyle S\subset P}$. Множена ${\displaystyle S}$ називається обмеженою зверху, якщо

${\displaystyle \exists b\;\forall x\;(x\in S\Rightarrow x\leqslant b)}$

обмеженою знизу, якщо

${\displaystyle \exists b\;\forall x\;(x\in S\Rightarrow x\geqslant b)}$

Множина, обмежена і зверху і знизу, називається обмеженою.

Див. також

• Супремум
• Інфімум