Нормальні моди

В загальному випадку при збудженні власних коливань (Нормальні коливання) в системах з багатьма ступенями свободи (більше або дорівнює двом) рух елементів системи не є періодичним рухом. При певних співвідношеннях між початковими відхиленнями від положення рівноваги, або початковими швидкостями їх руху в системі реалізуються особливі типи коливань— гармонічні коливання елементів системи з фіксованими фазовими співвідношеннями. Такі особливі коливальні рухи називають нормальними коливаннями або нормальними модами.

Нормальні коливання
Формула	${\displaystyle \max\{\,d(x,y)x\in {\mathcal {A}},\,y\in {\mathcal {B}}\,\}}$
Підтримується Вікіпроєктом
Нормальні коливання у Вікісховищі

Кожне з нормальних коливань фізичної системи характеризується своєю частотою і фіксованими співвідношеннями амплітуд коливань окремих елементів системи в системах зі скінченим числом ступенів вільності. В неперервних системах (системах з нескінченним числом степенів вільності) кожне нормальне коливання характеризується власною частотою та відповідною формою коливань. Набір частот нормальних коливань складає коливний спектр системи. В загальному випадку кількість таких нормальних коливань збігається з числом ступенів вільності в системі. Важливе значення нормальних коливань в системі полягає в тому, що вільний рух системи при будь-яких початкових умовах представляється сумою (суперпозицією) нормальних коливань з відповідно підібраними амплітудами.

Нормальні коливання в системах з двома ступенями свободи

Механічна система або електричний контур з двома ступенями свободи є найпростішими системами на прикладі яких можна показати основні властивості нормальних коливань. Розглянемо конкретну модель механічної системи з двома ступенями вільності, що включає дві жорсткі маси ${\displaystyle m_{1}}$ та ${\displaystyle m_{2}}$, з'єднані невагомими пружинами з жорсткостями ${\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3}}$. Рух системи описується двома функціями ${\displaystyle x_{1}(t)}$ та ${\displaystyle x_{2}(t)}$.

Типова модель механічної системи з двома ступенями вільності. Маси ковзають по опорній поверхні без тертя.

Необхідні для дослідження вільних рухів в такій системі диференціальні рівняння записуються безпосередньо з використанням другого закону Ньютона і мають вигляд

${\displaystyle m_{1}{\ddot {x_{1}}}+(k_{1}+k_{2})x_{1}-k_{2}x_{2}=0,}$

${\displaystyle m_{2}{\ddot {x_{2}}}+(k_{2}+k_{3})x_{2}-k_{2}x_{1}=0.}$

Ці рівняння часто представляють у вигляді

${\displaystyle {\ddot {x_{1}}}+\omega _{1}^{2}x_{1}-{\frac {k_{2}}{m_{1}}}x_{2}=0}$

${\displaystyle {\ddot {x_{2}}}+\omega _{2}^{2}x_{2}-{\frac {k_{2}}{m_{2}}}x_{1}=0.}$

Такий запис рівнянь руху має певне фізичне підгрунття. Тут вказано на дві специфічні частотні характеристики ${\displaystyle \omega _{1}}$ та ${\displaystyle \omega _{2}}$. Очевидно, що це є власні частоти двох систем з одним ступенем вільності, які можна одержати із системи, що розглядається, позбавляючи можливості рухатися одну із мас в системі. Так утворені системи з меншим числом ступенів вільності називаються парціальними системами, Відповідно, частоти ${\displaystyle \omega _{1}}$ та ${\displaystyle \omega _{2}}$ називаються парціальними частотами вихідної коливальної системи.

Для пошуку можливих періодичних рухів в коливальній системі представимо зміщення мас в вигляді ${\displaystyle x_{1}(t)=A\cos(\omega t),x_{2}(t)=B\cos(\omega t)}$. Після підстановки таких пробних виразів в диференціальні рівняння руху одержуємо систему двох однорідних рівнянь для амплітудних характеристик ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle B}$. Існування відмінних від нуля величин амплітуд коливань можливо лише в тому випадку, коли визначник цієї системи дорівнює нулеві. Саме ця умова дає рівняння для визначення значень частот можливих періодичних рухів в системі.

${\displaystyle (\omega _{1}^{2}-\omega ^{2})(\omega _{2}^{2}-\omega ^{2})-\mu ^{4}=0,}$ (1)

${\displaystyle \mu ^{4}={\frac {k_{2}^{2}}{m_{1}m_{2}}}}$

Аналіз рівняння (1) показує, що воно завжди має два корені відносно величини ${\displaystyle \omega ^{2}}$. Якщо, для визначеності, прийняти, що ${\displaystyle \omega _{1}<\omega _{2}}$ то одна із частот нормальних коливань буде завжди меншою ніж ${\displaystyle \omega _{1}}$, а друга завжди більшою ніж ${\displaystyle \omega _{2}}$. Це загальне правило відносно співвідношення величин частот парціальних систем і частот нормальних коливань коливальної ситсеми.Тому часто частоти нормальних коливань системи з двома ступенями вільності позначають, як ${\displaystyle \omega _{-}}$ та ${\displaystyle \omega _{+}}$.Для відомих частот нормальних коливань з рівнянь руху випливають наступні співвідношення між амплітудними коефіцієнтами в виразах для ${\displaystyle x_{1}(t)}$ та ${\displaystyle x_{2}(t)}$

${\displaystyle B_{+}={\frac {m_{2}}{k_{2}}}A_{+}(\omega _{2}^{2}-\omega _{+}^{2}),B_{-}={\frac {m_{2}}{k_{2}}}A_{-}(\omega _{1}^{2}-\omega _{-}^{2}).}$

Таким чином в дослідженій системі можуть реалізуватися два нормальні коливання

${\displaystyle x_{1}^{+}(t)=A_{+}\cos(\omega _{+}t),x_{2}^{+}(t)=A_{+}{\frac {m_{2}}{k_{2}}}(\omega _{2}^{2}-\omega _{+}^{2})\cos(\omega _{+}t)}$

(2)

${\displaystyle x_{1}^{-}(t)=A_{-}\cos(\omega _{-}t),x_{2}^{-}(t)=A_{-}{\frac {m_{2}}{k_{2}}}(\omega _{1}^{2}-\omega _{-}^{2})\cos(\omega _{-}t)}$

В цих виразах мається дві довільні сталі ${\displaystyle A_{+},A_{-}}$. Тому за загальною теорією звичайних диференціальних рівнянь представлення

${\displaystyle x_{1}(t)=x_{1}^{+}(t)+x_{1}^{-}(t),}$

${\displaystyle x_{2}(t)=x_{2}^{+}(t)+x_{2}^{-}(t)}$

є загальним розв'язком рівнянь руху. Вибором значень довільних сталих в ньому можна задовольнити довільним початковим умовам в випадку вільних коливань системи з двома ступенями вільності. Більш детально з конкретними прикладами механічних та електричних систем з двома степенями вільності та властивостями їх коливань можна познайомитися в підручнику При аналізі вільних коливань величини ${\displaystyle A_{+},A_{-}}$ залишаються не визначеними. Однак, властивості нормальних частот дозволяють зробити загальний висновок відносно характеру руху мас в кожному нормальному коливанні. Оскільки завжди ${\displaystyle \omega _{-}<\omega _{1}}$, то з першого виразу в (2) випливає, що зміщення мас від положення рівноваги в цьому нормальному коливанні (з меншою власною частотою) завжди мають однакові знаки, т.б. маємо синфазний рух мас. Із другого виразу в (2), оскільки завжди ${\displaystyle \omega _{+}>\omega _{2}}$, випливає, що зміщення мас в другому нормальному коливанні завжди мають протилежні знаки. Коливання відбуваються в протифазі.

Стоячі хвилі в резонаторах

Моди хвилеводів

Нормальні коливання в молекулах

Загальна теорія

Потенціальна енергія взаємодії атомів у молекулах є певною функцією їхніх координат ${\displaystyle U(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{i},\ldots ,\mathbf {r} _{N})}$. Ця функція загалом розраховується із квантової механіки в адіабатичному наближенні або задається певними модельними потенціалами. Рівноважні положення атомів у молекулах ${\displaystyle \mathbf {r} _{i0}}$ задаються умовою мінімуму цієї функції

${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}$.

Якщо вивести молекулу з рівноваги так, що кожен атом зміститься на якусь величину ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$, то у молекулі виникнуть сили, які намагатимуться повернути атоми в положення рівноваги, а потенціальна енергія зросте і стане рівною

${\displaystyle U(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{i},\ldots ,\mathbf {r} _{N})=U_{0}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{N}\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}a_{ij}^{\alpha \beta }\delta r_{i}^{\alpha }\delta r_{j}^{\beta }}$,

де і та j — індекси атомів, α та β — індекси осей координат, ${\displaystyle U_{0}}$ — потенціальна енергія молекули в положенні рівноваги, а коефіцієнти ${\displaystyle a_{ij}^{\alpha \beta }}$ визначаються розкладом потенціальної енергії в ряд Тейлора в околі положення рівноваги.

${\displaystyle a_{ij}^{\alpha \beta }=\left.{\frac {\partial ^{2}U}{\partial r_{i}^{\alpha }\partial r_{j}^{\beta }}}\right|_{\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i0}}+\left.{\frac {\partial ^{2}U}{\partial r_{i}^{\alpha }\partial r_{i}^{\beta }}}\right|_{\mathbf {r} _{j}=\mathbf {r} _{i0}}}$

Рівняння руху для зміщень атомів з положення координат мають такий вигляд:

${\displaystyle m_{i}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\delta r_{i}^{\alpha }=-\sum _{j=1}^{N}\sum _{\beta =1}^{3}a_{ij}^{\alpha \beta }\delta r_{j}^{\beta }}$,

де ${\displaystyle m_{i}}$ — маса i-того атому.

Шукаючи розв'язки системи диференційних рівнянь у вигляді

${\displaystyle \delta r_{i}^{\alpha }=b_{i}^{\alpha }e^{i\omega t}}$,

отримуємо систему лінійних рівнянь

${\displaystyle m_{i}\omega ^{2}b_{i}^{\alpha }-\sum _{j=1}^{N}\sum _{\beta =1}^{3}a_{ij}^{\alpha \beta }b_{j}^{\beta }=0.\qquad ({\text{A}})}$

Усього таких рівнянь 3N -6, де N — число атомів. 3 інші рівняння описують рух центру маси молекули, а ще три — обертання молекули, як цілого. Система однорідна, а отже має нетривіальні розв'язки лише при певних частотах, які знаходяться, якщо прирівняти нулю детермінант цієї системи

${\displaystyle \left|m_{i}\omega ^{2}\delta _{ij}\delta _{\alpha \beta }-a_{ij}^{\alpha \beta }\right|=0}$,

де ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — символ Кронекера.

Цей детермінант є рівнянням (3N-6)-го степеня відносно ω², яке називається віковим або секулярним рівнянням. Його корені визначають спектр власних частот коливань молекули.

Власні вектори ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}}$ рівняння (A) визначають 3N -6 нормальні моди коливань молекули.

Нормальні моди взаємно лінійно незалежні й взаємно ортогональні:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\mathbf {b} _{i}^{m}\cdot \mathbf {b} _{i}^{n}=0}$,

якщо ${\displaystyle m\neq n}$, де m та n — індекси, якими позначені різні власні вектори. Саме цій особливості нормальні моди завдячують своєю назвою.

Приклад

Нормальні моди мурашиної кислоти зображені на серії рисунків

Стрілки вказують напрям руху атомів при коливаннях. Усього нормальних мод дев'ять, оскільки молекула має 5 атомів.

Дипольний момент

Якщо відомі нормальні моди, які задаються векторами ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}^{n}}$, де індекс n — це номер моди, а також часткові заряди атомів у молекулах то можна утворити вектори:

${\displaystyle \mathbf {d} ^{n}=\sum _{i}q_{i}\mathbf {b} _{i}^{n}}$,

які називаються дипольними моментами нормальних мод.

У зовнішньому електричному полі, наприклад, у полі електромагнітної хвилі, енергія диполя визначається формулою ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathbf {d} }$. Тому ті нормальні моди, які мають значний дипольний момент сильно взаємодіють з електромагнітними хвилями (зазвичай інфрачервоного діапазону). Ті нормальні моди, для яких дипольного моменту немає, або він малий, не поглинають і не випромінюють інфрачервоні хвилі.

Наприклад, симетрична молекула O₂ не має часткового заряду на своїх атомах, тож кисень у атмосфері не стає на заваді розповсюдженню інфрачервоних хвиль. У молекулі CO₂ атоми кисню дещо відтягують електрони до себе від центрального атома карбону, тому всі три атоми мають невеличкий частковий заряд. У молекули вуглекислого газу (вона лінійна) є три нормальні моди. Одна із них — це симетричні коливання атомів кисню вздовж осі молекули. Ця мода не має дипольного моменту. Інша мода коливань — асиметричні коливання атомів кисню вздовж осі молекули має дипольний момент, як і третя мода, в якій молекула згинається.

Примітки

1. Грінченко В. Т., . Вовк І. В., Маципура В. Т. Основи акустики: Навчальний посібник [ 9 березня 2016 у Wayback Machine.]. — К.: Наукова думка, 2007. — 640 с. — .
2. Анісімов І. О.Коливання та хвилі. Навчальний посібник.—К: Академпрес,2003.—280 с..
3. Для двохатомних молекул число рівнянь дорівнює 1, бо обертання можливе лише навколо двох осей.

Джерела

• Федорченко А.М. Теоретична механіка. — К. : Вища школа, 1975. — 516 с.