Норма́льне розширення — розширення поля L/K для якого кожен незвідний многочлен f(x) над K, що має хоч би один корінь в L, розкладається в L на лінійні множники.
Рівносильні визначення
- Якщо K ⊆ L ⊆ K*, де K* — алгебраїчне замикання поля К, то розширення L/K нормальне якщо довільне вкладення σ L в алгебраїчне замикання K*, для якого σ(K) = K, задовольняє також рівність σ(L) = L, тобто дане вкладення є автоморфізмом поля L.
- Довільне алгебраїчне розширення розширення L/K є нормальним тоді і тільки тоді, коли L є полем розкладу деякої множини многочленів з K[x]. Зокрема довільне скінченне розширення L/K є нормальним тоді й лише тоді, коли L є полем розкладу деякого многочлена над K.
Нормальні розширення у відповідності Галуа
Якщо L — розширення Галуа поля K, а E — деяке проміжне підполе K ⊆ E ⊆ L, то група Галуа Gal(L/E) за визначенням складається з усіх автоморфізмів L, що залишають незмінними елементи E. Якщо σ — деякий автоморфізм повної групи Галуа Gal(L/K) , що відображає E на σ(E) то, очевидно, що
Gal(L/σE)=σGal(F/E)σ-1
Тому розширення E нормально тоді і тільки тоді, коли підгрупа Gal(L/E) є нормальною підгрупою в Gal(L/K) .
Властивості
- Якщо L нормальне розширення K і E — проміжне поле (тобто L ⊃ E ⊃ K), тоді L є також нормальним розширенням поля E.
- Якщо E і F — нормальні розширення поля K, що містяться в деякому полі L, тоді добуток EF і E ∩ F є також нормальними розширеннями K.
Нормальне замикання
Якщо K — поле і L — розширення K, тоді існує деяке розширення M поля L таке що M є нормальним розширенням K. Окрім того з точністю до ізоморфізму існує єдине таке розширення, що є мінімальним, тобто єдиним підполем поля M, що містить L і є нормальним розширенням K є саме поле M. Таке розширення M називається нормальним замиканням розширення L поля K.
Якщо L є скінченним розширенням K, то його нормальне замикання теж буде скінченним.
Приклад
Поле є нормальним розширенням поля
оскільки воно є полем розкладу многочлена
. Натомість
не є нормальним розширенням поля
оскільки
містить корінь
многочлена
але не містить двох недійсних його коренів.
Література
- Ван дер Варден Б.Л. Алгебра — М:, Наука, 1975
- Howie, John Mackintosh (2006), Fields and Galois Theory, London: Springer, .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет