Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Підтримка
www.wikidata.uk-ua.nina.az

Недезаргова площина це проєктивна площина яка не задовольняє теоремі Дезарга іншими словами яка не є дезарговою Теорема

Недезаргова площина

Недезаргова площина

Недезаргова площина — це проєктивна площина, яка не задовольняє теоремі Дезарга, іншими словами, яка не є дезарговою. Теорема Дезарга виконується у всіх проєктивних просторах розмірності, відмінної від 2, тобто, для всіх класичних проєктивних геометрій над полем (або тілом), проте Гільберт виявив, що деякі проєктивні площини не задовольняють теоремі.

Приклади

Деякі приклади є скінченними геометріями. Для скінченної проєктивної площини порядок на одиницю менший від числа точок на прямій (це константа для всіх прямих). Деякі приклади недезаргових площин:

  • .
  • Будь-яка проєктивна площина порядку, що не перевищує 8, є дезарговою, але існує три недезаргових площини порядку 9, кожна по 91 точці і 91 прямій
  • [en].
  • [en] над альтернативними тілами, які не є асоціативними, як, наприклад, .
  • [en].
  • [en].

Класифікація

За Вайбелем, Х. Ленц дав схему класифікації для проєктивних площин 1954 року і її допрацював А. Барлотті 1957 року. Ця схема класифікації ґрунтується на типах транзитивності точка-пряма, дозволених [en] площини і відома як класифікація проєктивних площин Ленца — Барлотті. Список 53 типів дано в книзі Дембовскі. Таблиця відомих результатів про існування (для груп колінеації і площин, що мають такі групи колінеації) як для скінченного, так і нескінченного випадку, міститься на сторінці 126 книги. За словами Вайбеля, «36 із них існують як скінченні групи. Від 7 до 12 існують як скінченні проєктивні площини і 14 або 15 існують як нескінченні проєктивні площини.»

Існують і інші схеми класифікації. Одна з найпростіших схем базується на типі [en], яке можна використовувати для введення координат на проєктивній площині. Ці типи: поле, тіло, альтернативні тіла, [en], [en], [en], [en] і [en].

Конічні перетини

У дезарговій проєктивній площині конічний перетин можна визначити різними еквівалентними способами. У недезаргових площинах доведення еквівалентності виявляються хибними і різні визначення можуть дати нееквівалентні об'єкти. Остром Т. Г. запропонував назву конкоїд для цих подібних конічних перетинів фігур, але не навів формального визначення і термін, як видно, не набув поширення.

Існує кілька способів визначення конічних перетинів на дезаргових площинах:

  1. Множина абсолютних точок полярності відома як [en]. Якщо площина визначена над полем характеристики два, отримаємо тільки [en].
  2. Множина точок перетинів відповідних прямих двох пучків, які проєктивно, але не перспективно, пов'язані, відома як [en]. Якщо пучки перспективно пов'язані, перетин вироджений.
  3. Множина точок, координати яких задовольняють незвідному однорідному рівнянню другого степеня.

Крім того, на скінченній дезарговій площині:

  1. Множина q + 1 точок, ніякі три з яких не колінеарні в PG(2,q), називають овалом. Якщо q непарне, овал є конічним перетином у сенсі пункту 3 вище.
  2. Конічний перетин Острома ґрунтується на узагальненнях гармонічних множин.

Артці дав приклад конічних перетинів Штейнера на муфанговій площині, які не є перетинами фон Штаудта. Гарнер навів приклад конічного перетину фон Штаудта, який не є конічним перетином Острома на скінченній площині напівполя.

Примітки

  1. Теорема Дезарга тривіально, але беззмістовно істинна в розмірності 1. Проблема виникає тільки в розмірності 2.
  2. див. книгу Рума і Кіркпатрика (Room, Kirkpatrick, 1971) з описом усіх чотирьох площин порядку 9.
  3. Weibel, 2007, с. 1296.
  4. Lenz, 1954, с. 20–31.
  5. Barlotti, 1957, с. 212–226.
  6. Dembowski, 1968, с. 124—5.
  7. Colbourn, Dinitz, 2007, с. 723, стаття про скінченну геометрію Лео Сторме.
  8. Garner, 1979, с. 132–138.
  9. Ostrom, 1981, с. 175–196.
  10. У просторі з полярністю (відображенням точок у прямі порядку два зі збереженням інцидентності) точка є абсолютною, якщо лежить на своєму образі, а пряма є абсолютною, якщо проходить через свій образ (точку).
  11. Artzy, 1971, с. 30–35.

Література

  • Albert A.A., Sandler R. An Introduction to Finite Projective Planes. — New York : Holt, Rinehart and Winston, 1968.
  • Colbourn C.J., Dinitz J.H. Handbook of Combinatorial Designs. — 2nd. — Boca Raton : Chapman & Hall/ CRC, 2007. — .
  • Dembowski P. Finite Geometries. — Berlin : Springer Verlag, 1968.
  • Hall M. Projective planes. — Transactions of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1943. — Т. 54. — С. 229–277. — DOI:10.2307/1990331.
  • Hughes D.R., Piper F.C. Projective Planes. — New York : Springer Verlag, 1973. — .
  • Kárteszi F. Introduction to Finite Geometries. — Amsterdam : North-Holland, 1976. — .
  • Lüneburg H. Translation Planes. — Berlin : Springer Verlag, 1980. — .
  • Room T. G., Kirkpatrick P. B. Miniquaternion Geometry. — Cambridge : Cambridge University Press, 1971. — .
  • Sidorov L.A. Non-Desarguesian_geometry // [1] / Hazewinkel M. — Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001. — . з джерела 7 вересня 2017
  • Stevenson F.W. Projective Planes. — San Francisco : W.H. Freeman and Company, 1972. — .
  • Weibel C. Survey of Non-Desarguesian Planes // Notices of the AMS. — 2007. — Т. 54, вип. 10 (17 червня). — С. 1294–1303. з джерела 5 березня 2019. Процитовано 15 жовтня 2021.
  • Lenz H. Kleiner desarguesscher Satz und Dualitat in projektiven Ebenen // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1954. — Т. 57 (17 червня).
  • Barlotti A. Le possibili configurazioni del sistema delle coppie punto-retta (A,a) per cui un piano grafico risulta (A,a)-transitivo // Boll. Un. Mat. Ital.. — 1957. — Т. 12 (17 червня).
  • Garner C.W.L. Conics in Finite Projective Planes // Journal of Geometry. — 1979. — Т. 12, вип. 2 (17 червня). — DOI:10.1007/bf01918221.
  • Artzy R. The Conic y=x2 in Moufang Planes // Aequationes Mathematicae. — 1971. — Т. 6 (17 червня). — DOI:10.1007/bf01833234.
  • Ostrom T.G. Conicoids: Conic-like figures in Non-Pappian planes // Geometry - von Staudt's Point of View / Plaumann P., Strambach K. — D. Reidel, 1981. — .

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет

Nedezargova ploshina ce proyektivna ploshina yaka ne zadovolnyaye teoremi Dezarga inshimi slovami yaka ne ye dezargovoyu Teorema Dezarga vikonuyetsya u vsih proyektivnih prostorah rozmirnosti vidminnoyi vid 2 tobto dlya vsih klasichnih proyektivnih geometrij nad polem abo tilom prote Gilbert viyaviv sho deyaki proyektivni ploshini ne zadovolnyayut teoremi PrikladiDeyaki prikladi ye skinchennimi geometriyami Dlya skinchennoyi proyektivnoyi ploshini poryadok na odinicyu menshij vid chisla tochok na pryamij ce konstanta dlya vsih pryamih Deyaki prikladi nedezargovih ploshin Bud yaka proyektivna ploshina poryadku sho ne perevishuye 8 ye dezargovoyu ale isnuye tri nedezargovih ploshini poryadku 9 kozhna po 91 tochci i 91 pryamij en en nad alternativnimi tilami yaki ne ye asociativnimi yak napriklad en en KlasifikaciyaZa Vajbelem H Lenc dav shemu klasifikaciyi dlya proyektivnih ploshin 1954 roku i yiyi dopracyuvav A Barlotti 1957 roku Cya shema klasifikaciyi gruntuyetsya na tipah tranzitivnosti tochka pryama dozvolenih en ploshini i vidoma yak klasifikaciya proyektivnih ploshin Lenca Barlotti Spisok 53 tipiv dano v knizi Dembovski Tablicya vidomih rezultativ pro isnuvannya dlya grup kolineaciyi i ploshin sho mayut taki grupi kolineaciyi yak dlya skinchennogo tak i neskinchennogo vipadku mistitsya na storinci 126 knigi Za slovami Vajbelya 36 iz nih isnuyut yak skinchenni grupi Vid 7 do 12 isnuyut yak skinchenni proyektivni ploshini i 14 abo 15 isnuyut yak neskinchenni proyektivni ploshini Isnuyut i inshi shemi klasifikaciyi Odna z najprostishih shem bazuyetsya na tipi en yake mozhna vikoristovuvati dlya vvedennya koordinat na proyektivnij ploshini Ci tipi pole tilo alternativni tila en en en en i en Konichni peretiniU dezargovij proyektivnij ploshini konichnij peretin mozhna viznachiti riznimi ekvivalentnimi sposobami U nedezargovih ploshinah dovedennya ekvivalentnosti viyavlyayutsya hibnimi i rizni viznachennya mozhut dati neekvivalentni ob yekti Ostrom T G zaproponuvav nazvu konkoyid dlya cih podibnih konichnih peretiniv figur ale ne naviv formalnogo viznachennya i termin yak vidno ne nabuv poshirennya Isnuye kilka sposobiv viznachennya konichnih peretiniv na dezargovih ploshinah Mnozhina absolyutnih tochok polyarnosti vidoma yak en Yaksho ploshina viznachena nad polem harakteristiki dva otrimayemo tilki en Mnozhina tochok peretiniv vidpovidnih pryamih dvoh puchkiv yaki proyektivno ale ne perspektivno pov yazani vidoma yak en Yaksho puchki perspektivno pov yazani peretin virodzhenij Mnozhina tochok koordinati yakih zadovolnyayut nezvidnomu odnoridnomu rivnyannyu drugogo stepenya Krim togo na skinchennij dezargovij ploshini Mnozhina q 1 tochok niyaki tri z yakih ne kolinearni v PG 2 q nazivayut ovalom Yaksho q neparne oval ye konichnim peretinom u sensi punktu 3 vishe Konichnij peretin Ostroma gruntuyetsya na uzagalnennyah garmonichnih mnozhin Artci dav priklad konichnih peretiniv Shtejnera na mufangovij ploshini yaki ne ye peretinami fon Shtaudta Garner naviv priklad konichnogo peretinu fon Shtaudta yakij ne ye konichnim peretinom Ostroma na skinchennij ploshini napivpolya PrimitkiTeorema Dezarga trivialno ale bezzmistovno istinna v rozmirnosti 1 Problema vinikaye tilki v rozmirnosti 2 div knigu Ruma i Kirkpatrika Room Kirkpatrick 1971 z opisom usih chotiroh ploshin poryadku 9 Weibel 2007 s 1296 Lenz 1954 s 20 31 Barlotti 1957 s 212 226 Dembowski 1968 s 124 5 Colbourn Dinitz 2007 s 723 stattya pro skinchennu geometriyu Leo Storme Garner 1979 s 132 138 Ostrom 1981 s 175 196 U prostori z polyarnistyu vidobrazhennyam tochok u pryami poryadku dva zi zberezhennyam incidentnosti tochka ye absolyutnoyu yaksho lezhit na svoyemu obrazi a pryama ye absolyutnoyu yaksho prohodit cherez svij obraz tochku Artzy 1971 s 30 35 LiteraturaAlbert A A Sandler R An Introduction to Finite Projective Planes New York Holt Rinehart and Winston 1968 Colbourn C J Dinitz J H Handbook of Combinatorial Designs 2nd Boca Raton Chapman amp Hall CRC 2007 ISBN 1 58488 506 8 Dembowski P Finite Geometries Berlin Springer Verlag 1968 Hall M Projective planes Transactions of the American Mathematical Society American Mathematical Society 1943 T 54 S 229 277 DOI 10 2307 1990331 Hughes D R Piper F C Projective Planes New York Springer Verlag 1973 ISBN 0 387 90044 6 Karteszi F Introduction to Finite Geometries Amsterdam North Holland 1976 ISBN 0 7204 2832 7 Luneburg H Translation Planes Berlin Springer Verlag 1980 ISBN 0 387 09614 0 Room T G Kirkpatrick P B Miniquaternion Geometry Cambridge Cambridge University Press 1971 ISBN 0 521 07926 8 Sidorov L A Non Desarguesian geometry 1 Hazewinkel M Springer Science Business Media B V Kluwer Academic Publishers 2001 ISBN 978 1 55608 010 4 z dzherela 7 veresnya 2017 Stevenson F W Projective Planes San Francisco W H Freeman and Company 1972 ISBN 0 7167 0443 9 Weibel C Survey of Non Desarguesian Planes Notices of the AMS 2007 T 54 vip 10 17 chervnya S 1294 1303 z dzherela 5 bereznya 2019 Procitovano 15 zhovtnya 2021 Lenz H Kleiner desarguesscher Satz und Dualitat in projektiven Ebenen Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung 1954 T 57 17 chervnya Barlotti A Le possibili configurazioni del sistema delle coppie punto retta A a per cui un piano grafico risulta A a transitivo Boll Un Mat Ital 1957 T 12 17 chervnya Garner C W L Conics in Finite Projective Planes Journal of Geometry 1979 T 12 vip 2 17 chervnya DOI 10 1007 bf01918221 Artzy R The Conic y x2 in Moufang Planes Aequationes Mathematicae 1971 T 6 17 chervnya DOI 10 1007 bf01833234 Ostrom T G Conicoids Conic like figures in Non Pappian planes Geometry von Staudt s Point of View Plaumann P Strambach K D Reidel 1981 ISBN 90 277 1283 2

Дата публікації:
Топ