Найбільший та найменший елемент

В математиці, а саме в теорії порядку, для частково впорядкованої множини (P,≤)

найбільшим елементом називається такий елемент ${\displaystyle g\in P,}$ для якого справедливо:

${\displaystyle \forall x\in P:x\leq g.}$

найменшим елементом називається такий елемент ${\displaystyle l\in P,}$ для якого справедливо:

${\displaystyle \forall x\in P:l\leq x.}$

Найбільшого або найменшого елементів може не існувати. Якщо ж вони існують, то вони єдині.

Теорема

В кожній частково упорядкованій множині існує не більше одного найменшого (а в силу принципу двоїстості, і найбільшого) елементу.

Доведення

Припустимо, що x і y – два найменші елементи в множині A , тоді :${\displaystyle x\leq y}$ в силу того, що x – найменший елемент і :${\displaystyle y\leq x}$ в силу того, що y – найменший елемент. Але тоді із антисиметричності відношення ${\displaystyle \leq }$ випливає, що x=y .

Див. також

• Двоїстість (теорія порядку)
• Максимальні та мінімальні елементи
• Верхня та нижня межа

Джерела

• Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)