Мінімальний елемент

У математиці, а саме в теорії порядку, для частково впорядкованої множини (P,≤)

Посет, що складається тільки з максимальних та мінімальних елементів

максимальним елементом називається такий елемент ${\displaystyle m\in P,}$ для якого справедливо:

${\displaystyle \forall x\in P:(m\leq x\;\Rightarrow \;x=m)}$

мінімальним елементом називається такий елемент ${\displaystyle m\in P,}$ для якого справедливо:

${\displaystyle \forall x\in P:(x\leq m\;\Rightarrow \;x=m)}$

Максимальні та мінімальні елементи в частково впорядкованих множинах можуть існувати, а можуть і не існувати, їх може бути кілька, як показують наведені нижче приклади:

Приклад 1:

(R,≤) - множина дійсних чисел. У цій множині немає ні максимального, ні мінімального елементів.

Приклад 2:

В множині [0;1] Є максимальний елемент a=1, та мінімальний елемент b=0.

В множині (0;1] Є максимальний елемент, але немає мінімального.

В множині [0;1) Є мінімальний елемент, але немає максимального.

Властивості

• Максимального або мінімального елементів може не існувати. Якщо ж вони існують, то можуть бути не єдиними.
• Якщо існує найбільший елемент, то він є єдиним максимальним елементом.
• Якщо існує найменший елемент, то він є єдиним мінімальним елементом.

Див. також

• Двоїстість (теорія порядку)
• Найбільший та найменший елемент
• Верхня та нижня межа
• Інфімум та супремум

Джерела

• Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)