Метод матриць переходу — метод розрахунку проходження хвиль через багатошарові середовища, що дозволяє, зокрема, звести обчислення коефіцієнтів проходження та відбиття до простого множення матриць. Метод застосовується в оптиці, акустиці, квантовій механіці, при аналізі розсіяння нейтронів тощо. Наприклад, в оптиці його можна використати для розрахунків просвітленої оптики та діелектричних дзеркал.
Формулювання
В межах окремого шару багатошарової структури розв'язок хвильового рівняння можна записати у вигляді суперпозиції хвиль, що розповсюджуються в різні сторони
- ,
де та — невідомі коефіцієнти, що визначаються з граничних умов, а — хвильове число.
Нехай граничні умови на межі між шаром n та шаром n+1 для функції є неперервність самої функції та її похідної:
Тут — ширина n-го шару.
Вводячи вектор
- ,
ці граничні умови можна записати
де
Тоді
Усі властивості n-го шару (хвильове число, що визначається законом дисперсії для хвилі в шарі та товщина шару) зосереджені в матриці , яку називають матрицею переходу, матрицею трансляції, трансфер-матрицею.
Для розглянутої задачі трансфер-матриця дорівнює
Трансфер-матриця багатошарової системи визначається добутком матриць переносу окремих шарів:
Для визначення амплітуд відбитої хвилі та хвилі, що пройшла через систему, можна записати
де індекси L та R позначають крайнє ліве напівнескінченне середовище, з якого хвиля надходить, та крайнє праве напівнескінченне середовище, куди хвиля проходить. Відповідно,
Отже,
Звідси, амплітуда хвилі, що пройшла через багатошарову систему, дорівнює
- ,
а амплітуда відбитої хвилі
Коефіцієнти проходження та відбиття визначаються квадратами модулів цих величин
В загальному випадку матеріали шарів можуть поглинати хвилі, і тоді хвильові числа — комплексні. Це не обмежує використання методу. Коефіцієнт поглинання дорівнює:
Оптика
В оптиці вирази для трансфер матриці шару мають різний вигляд у залежності від поляризації електромагнітної хвилі. При нормальному падінні світла на межу розділу електромагнітна хвиля має s-поляризацію. Тоді хвильові числа визначаються законом дисперсії
де — циклічна частота, — швидкість світла, а — діелектрична проникність шару. Граничними умовами для s-поляризації є неперервність тангенціальної компоненти напруженості електричного поля хвилі та нормальної компоненти вектора магнітної індукції, що пропорційний похідній від танггенціальної компоненти напруженості електричного поля, а тому матриці переходу мають вигляд, аналогічний викладеному в попередньому параграфі.
При похилому падінні крім s-поляризації існує ще p-поляризація. Ці два випадки вимагають окремого розгляду. Для обох поляризацій хвильове число визначається як
де - однакова для всіх шарів компонента хвильового вектора, паралельна поверхні розділу.
Для p-поляризації граничними умовами є неперервність тангенціальної компоненти напруженості магнітного поля хвилі та нормальної компоненти вектора електричної індукції, тому в граничні умови входять діелектричні проникності шарів.
Матриця набирає вигляду:
а трансфер-матриця шару:
Виноски
- Born, M.; Wolf, E., Principles of optics: electromagnetic theory of propagation, interference and diffraction of light. Oxford, Pergamon Press, 1964.
Це незавершена стаття з фізики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Metod matric perehodu metod rozrahunku prohodzhennya hvil cherez bagatosharovi seredovisha sho dozvolyaye zokrema zvesti obchislennya koeficiyentiv prohodzhennya ta vidbittya do prostogo mnozhennya matric Metod zastosovuyetsya v optici akustici kvantovij mehanici pri analizi rozsiyannya nejtroniv tosho Napriklad v optici jogo mozhna vikoristati dlya rozrahunkiv prosvitlenoyi optiki ta dielektrichnih dzerkal Prohodzhennya promeniv cherez sharFormulyuvannyaV mezhah okremogo sharu bagatosharovoyi strukturi rozv yazok hvilovogo rivnyannya mozhna zapisati u viglyadi superpoziciyi hvil sho rozpovsyudzhuyutsya v rizni storoni ps z a n e i k n z b n e i k n z displaystyle psi z a n e ik n z b n e ik n z de a n displaystyle a n ta b n displaystyle b n nevidomi koeficiyenti sho viznachayutsya z granichnih umov a k n displaystyle k n hvilove chislo Nehaj granichni umovi na mezhi mizh sharom n ta sharom n 1 dlya funkciyi ps z displaystyle psi z ye neperervnist samoyi funkciyi ta yiyi pohidnoyi a n e i k n d n b n e i k n d n a n 1 b n 1 i k n a n e i k n d n i k n b n e i k n d n i k n 1 a n 1 i k n 1 b n 1 displaystyle left begin array lcl a n e ik n d n b n e ik n d n amp amp a n 1 b n 1 ik n a n e ik n d n ik n b n e ik n d n amp amp ik n 1 a n 1 ik n 1 b n 1 end array right Tut d n displaystyle d n shirina n go sharu Vvodyachi vektor ϕ n a n b n displaystyle phi n begin array cc a n amp b n end array ci granichni umovi mozhna zapisati L n S n ϕ n T L n 1 ϕ n 1 T displaystyle L n S n phi n T L n 1 phi n 1 T de S n e i k n d n 0 0 e i k n d n displaystyle S n left begin array cc e ik n d n amp 0 0 amp e ik n d n end array right L n 1 1 i k n i k n displaystyle L n left begin array cc 1 amp 1 ik n amp ik n end array right Todi L n ϕ n T L n S n 1 L n 1 L n 1 ϕ n 1 T M n L n 1 ϕ n 1 T displaystyle L n phi n T L n S n 1 L n 1 L n 1 phi n 1 T M n L n 1 phi n 1 T Usi vlastivosti n go sharu hvilove chislo sho viznachayetsya zakonom dispersiyi dlya hvili v shari ta tovshina sharu zoseredzheni v matrici M n displaystyle M n yaku nazivayut matriceyu perehodu matriceyu translyaciyi transfer matriceyu Dlya rozglyanutoyi zadachi transfer matricya dorivnyuye M n L n S n 1 L n 1 cos k n d n 1 k n sin k n d n k n sin k n d n cos k n d n displaystyle M n L n S n 1 L n 1 left begin array cc cos k n d n amp frac 1 k n sin k n d n k n sin k n d n amp cos k n d n end array right Transfer matricya bagatosharovoyi sistemi viznachayetsya dobutkom matric perenosu okremih shariv M n 1 n M n displaystyle M prod n 1 n M n Dlya viznachennya amplitud vidbitoyi hvili ta hvili sho projshla cherez sistemu mozhna zapisati L L ϕ L T M L R ϕ R T displaystyle L L phi L T ML R phi R T de indeksi L ta R poznachayut krajnye live napivneskinchenne seredovishe z yakogo hvilya nadhodit ta krajnye prave napivneskinchenne seredovishe kudi hvilya prohodit Vidpovidno ϕ L T 1 r ϕ R T t 0 displaystyle phi L T left begin array c 1 r end array right qquad phi R T left begin array c t 0 end array right Otzhe 1 r L L 1 M L R t 0 M t o t t 0 displaystyle left begin array c 1 r end array right L L 1 ML R left begin array c t 0 end array right M tot left begin array c t 0 end array right Zvidsi amplituda hvili sho projshla cherez bagatosharovu sistemu dorivnyuye t 1 M 11 t o t displaystyle t 1 M 11 tot a amplituda vidbitoyi hvili r M 21 t o t M 11 t o t displaystyle r M 21 tot M 11 tot Koeficiyenti prohodzhennya ta vidbittya viznachayutsya kvadratami moduliv cih velichin T t 2 R r 2 displaystyle T t 2 qquad R r 2 V zagalnomu vipadku materiali shariv mozhut poglinati hvili i todi hvilovi chisla kompleksni Ce ne obmezhuye vikoristannya metodu Koeficiyent poglinannya dorivnyuye A 1 R T displaystyle A 1 R T OptikaV optici virazi dlya transfer matrici sharu mayut riznij viglyad u zalezhnosti vid polyarizaciyi elektromagnitnoyi hvili Pri normalnomu padinni svitla na mezhu rozdilu elektromagnitna hvilya maye s polyarizaciyu Todi hvilovi chisla viznachayutsya zakonom dispersiyi k n 2 w 2 c 2 e n displaystyle k n 2 frac omega 2 c 2 varepsilon n de w displaystyle omega ciklichna chastota c displaystyle c shvidkist svitla a e n displaystyle varepsilon n dielektrichna proniknist sharu Granichnimi umovami dlya s polyarizaciyi ye neperervnist tangencialnoyi komponenti napruzhenosti elektrichnogo polya hvili ta normalnoyi komponenti vektora magnitnoyi indukciyi sho proporcijnij pohidnij vid tanggencialnoyi komponenti napruzhenosti elektrichnogo polya a tomu matrici perehodu mayut viglyad analogichnij vikladenomu v poperednomu paragrafi Pri pohilomu padinni krim s polyarizaciyi isnuye she p polyarizaciya Ci dva vipadki vimagayut okremogo rozglyadu Dlya oboh polyarizacij hvilove chislo viznachayetsya yak k n 2 w 2 c 2 e n q 2 displaystyle k n 2 frac omega 2 c 2 varepsilon n q 2 de q displaystyle mathbf q odnakova dlya vsih shariv komponenta hvilovogo vektora paralelna poverhni rozdilu Dlya p polyarizaciyi granichnimi umovami ye neperervnist tangencialnoyi komponenti napruzhenosti magnitnogo polya hvili ta normalnoyi komponenti vektora elektrichnoyi indukciyi tomu v granichni umovi vhodyat dielektrichni proniknosti shariv Matricya L n displaystyle L n nabiraye viglyadu L n e n e n i k n i k n displaystyle L n left begin array cc varepsilon n amp varepsilon n ik n amp ik n end array right a transfer matricya sharu M n L n S n 1 L n 1 cos k n d n e n k n sin k n d n k n e n sin k n d n cos k n d n displaystyle M n L n S n 1 L n 1 left begin array cc cos k n d n amp frac varepsilon n k n sin k n d n frac k n varepsilon n sin k n d n amp cos k n d n end array right VinoskiBorn M Wolf E Principles of optics electromagnetic theory of propagation interference and diffraction of light Oxford Pergamon Press 1964 Ce nezavershena stattya z fiziki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi