Метод Сімпсона є одним із методів чисельного інтегрування. Названий на честь британського математика Томаса Сімпсона (1710—1761).
Формула
Формулою Сімпсона називається інтеграл від інтерполяційного многочлена другого степеня на відрізку :
де , і — значення функції у відповідних точках .
Похибка
При умові, що функція на відрізку має похідну четвертого порядку, похибка , дорівнює:
Зважаючи, що значення переважно не є відомим, для оцінки похибки використовується нерівність:
Виведення формули
Формула Сімпсона може бути виведена за допомогою багатьох різних способів.
Квадратична інтерполяція
Якщо замінити функцію квадратичним поліномом що приймає ті ж значення що й у точках a,b і m = (a+b) / 2. використавши інтерполяційну формулу Лагранжа, то одержимо формулу:
Після необхідних обчислень одержуємо:
Використання методів прямокутників і трапецій
У цьому способі виведення використовуються метод прямокутників:
Похибки цих наближень дорівнюють
- і
відповідно. Звідси випливає, що аби позбутися третього степеня слід взяти для наближення величину
Однак таким чином одержується формула Сімпсона.
Метод невизначених коефіцієнтів
Запишемо в загальному виді:
Коефіцієнти α, β і γ можуть бути знайдені з вимоги, що дане наближення є точним для всіх многочленів другого степеня. Таким чином знову ж одержується метод Сімпсона.
Ітераційна формула
Для точнішого обчислення інтеграла проміжок розбивають на відрізків однакової довжини і застосовують формулу Сімпсона на кожному з них. Значення інтеграла є сумою для всіх відрізків.
- де величина кроку, а межі відрізків.
Загальну похибку при інтегруванні на відрізку з кроком визначають за формулою:
- .
При неможливості оцінити похибку за допомогою четвертої похідної можна використати слабшу оцінку:
- .
Приклади реалізації
Реалізація на C#:
using System; namespace NumericIntgeration { internal class Program { private delegate double Func(double x); private static void Main() { const int n = 10000; double result = SimpsonMethod(0.0, 2.0, n, x => x * Math.Exp(Math.Sqrt(x))); Console.WriteLine("x = {0}", result); Console.ReadKey(); } private static double SimpsonMethod(double a, double b, int n, Func func) { double h = (b - a) / n; double s = (func(a) + func(b)) * 0.5; for (int i = 1; i <= n - 1; i++) { double xk = a + h * i; //xk double xk1 = a + h * (i - 1); //Xk-1 s += func(xk) + 2 * func((xk1 + xk) / 2); } var x = a + h * n; //xk var x1 = a + h * (n - 1); //Xk-1 s += 2 * func((x1 + x) / 2); return s * h / 3.0; } } }
Див. також
Література
- Формула парабол (формула Сімпсона) // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 450. — 594 с.
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
Ця стаття потребує додаткових для поліпшення її . (січень 2020) |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Metod Simpsona ye odnim iz metodiv chiselnogo integruvannya Nazvanij na chest britanskogo matematika Tomasa Simpsona 1710 1761 Metod Simpsona oderzhuyetsya za dopomogoyu interpolyaciyi funkciyi f x blakitnij kolir kvadratichnim mnogochlenom P x chervonij kolir FormulaFormuloyu Simpsona nazivayetsya integral vid interpolyacijnogo mnogochlena drugogo stepenya na vidrizku a b displaystyle a b a b f x d x a b p 2 x d x b a 6 f a 4 f a b 2 f b displaystyle int limits a b f x dx approx int limits a b p 2 x dx frac b a 6 left f a 4f left frac a b 2 right f b right de f a displaystyle f a f a b 2 displaystyle f a b 2 i f b displaystyle f b znachennya funkciyi u vidpovidnih tochkah PohibkaPri umovi sho funkciya f x displaystyle f x na vidrizku a b displaystyle a b maye pohidnu chetvertogo poryadku pohibka E f displaystyle E f dorivnyuye E f b a 5 2880 f 4 z z a b displaystyle E f frac b a 5 2880 f 4 zeta zeta in a b Zvazhayuchi sho znachennya z displaystyle zeta perevazhno ne ye vidomim dlya ocinki pohibki vikoristovuyetsya nerivnist E f b a 5 2880 max x a b f 4 x displaystyle left E f right leq frac b a 5 2880 max limits x in a b left f 4 x right Vivedennya formuliFormula Simpsona mozhe buti vivedena za dopomogoyu bagatoh riznih sposobiv Kvadratichna interpolyaciya Yaksho zaminiti funkciyu f x displaystyle f x kvadratichnim polinomom P x displaystyle P x sho prijmaye ti zh znachennya sho j f x displaystyle f x u tochkah a b i m a b 2 vikoristavshi interpolyacijnu formulu Lagranzha to oderzhimo formulu P x f a x m x b a m a b f m x a x b m a m b f b x a x m b a b m displaystyle P x f a frac x m x b a m a b f m frac x a x b m a m b f b frac x a x m b a b m Pislya neobhidnih obchislen oderzhuyemo a b P x d x b a 6 f a 4 f a b 2 f b displaystyle int a b P x dx frac b a 6 left f a 4f left frac a b 2 right f b right Vikoristannya metodiv pryamokutnikiv i trapecij U comu sposobi vivedennya vikoristovuyutsya metod pryamokutnikiv M b a f a b 2 displaystyle M b a f left frac a b 2 right i metod trapecij T 1 2 b a f a f b displaystyle T tfrac 1 2 b a f a f b Pohibki cih nablizhen dorivnyuyut 1 24 b a 3 f a O b a 4 displaystyle tfrac 1 24 b a 3 f a O b a 4 quad i1 12 b a 3 f a O b a 4 displaystyle quad tfrac 1 12 b a 3 f a O b a 4 vidpovidno Zvidsi viplivaye sho abi pozbutisya tretogo stepenya slid vzyati dlya nablizhennya velichinu 2 M T 3 displaystyle frac 2M T 3 Odnak takim chinom oderzhuyetsya formula Simpsona Metod neviznachenih koeficiyentiv Zapishemo v zagalnomu vidi 1 b a a b f x d x a f a b f a b 2 g f b displaystyle frac 1 b a int a b f x dx approx alpha f a beta f left frac a b 2 right gamma f b Koeficiyenti a b i g mozhut buti znajdeni z vimogi sho dane nablizhennya ye tochnim dlya vsih mnogochleniv drugogo stepenya Takim chinom znovu zh oderzhuyetsya metod Simpsona Iteracijna formulaDlya tochnishogo obchislennya integrala promizhok a b displaystyle a b rozbivayut na N displaystyle N vidrizkiv odnakovoyi dovzhini i zastosovuyut formulu Simpsona na kozhnomu z nih Znachennya integrala ye sumoyu dlya vsih vidrizkiv a b f x d x h 3 1 2 f x 0 k 1 N 1 f x k 2 k 1 N f x k 1 x k 2 1 2 f x N displaystyle int limits a b f x dx approx frac h 3 cdot left frac 1 2 f x 0 sum k 1 N 1 f x k 2 sum k 1 N f left frac x k 1 x k 2 right frac 1 2 f x N right de h b a N displaystyle h frac b a N velichina kroku a x k a k h displaystyle x k a k cdot h mezhi vidrizkiv Zagalnu pohibku E f displaystyle E f pri integruvanni na vidrizku a b displaystyle a b z krokom x i x i 1 h displaystyle x i x i 1 h viznachayut za formuloyu E f b a 2880 h 4 max x a b f 4 x displaystyle left E f right leq frac b a 2880 h 4 max limits x in a b f 4 x Pri nemozhlivosti ociniti pohibku za dopomogoyu chetvertoyi pohidnoyi mozhna vikoristati slabshu ocinku E f b a 288 h 3 max x a b f 3 x displaystyle left E f right leq frac b a 288 h 3 max limits x in a b f 3 x Prikladi realizaciyiRealizaciya na C using System namespace NumericIntgeration internal class Program private delegate double Func double x private static void Main const int n 10000 double result SimpsonMethod 0 0 2 0 n x gt x Math Exp Math Sqrt x Console WriteLine x 0 result Console ReadKey private static double SimpsonMethod double a double b int n Func func double h b a n double s func a func b 0 5 for int i 1 i lt n 1 i double xk a h i xk double xk1 a h i 1 Xk 1 s func xk 2 func xk1 xk 2 var x a h n xk var x1 a h n 1 Xk 1 s 2 func x1 x 2 return s h 3 0 Div takozhChiselne integruvannya Metod pryamokutnikiv Metod trapecijLiteraturaFormula parabol formula Simpsona Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 450 594 s Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr Cya stattya potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya yiyi perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno sichen 2020