Матриці Кравчука

Матриці Кравчука — матриці, елементами яких є значення поліномів Кравчука в невід'ємних цілих точках.

${\displaystyle K_{ij}^{(n)}=\Sigma _{k}(-1)^{k}{\binom {j}{k}}{\binom {n-j}{i-k}}\!\,}$

Приклади кількох перших матриць:

${\displaystyle K^{(0)}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}\qquad K^{(1)}=\left[{\begin{array}{rr}1&1\\1&-1\end{array}}\right]\qquad K^{(2)}=\left[{\begin{array}{rrr}1&1&1\\2&0&-2\\1&-1&1\end{array}}\right]\qquad K^{(3)}=\left[{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\3&1&-1&-3\\3&-1&-1&3\\1&-1&1&-1\end{array}}\right]}$

${\displaystyle K^{(4)}=\left[{\begin{array}{rrrrr}1&1&1&1&1\\4&2&0&-2&-4\\6&0&-2&0&6\\4&-2&0&2&-4\\1&-1&1&-1&1\end{array}}\right]\qquad K^{(5)}=\left[{\begin{array}{rrrrrr}1&1&1&1&1&1\\5&3&1&-1&-3&-5\\10&2&-2&-2&2&10\\10&-2&-2&2&2&-10\\5&-3&1&1&-3&5\\1&-1&1&-1&1&-1\end{array}}\right]}$

${\displaystyle K^{(6)}=\left[{\begin{array}{rrrrrrr}1&1&1&1&1&1&1\\6&4&2&0&-2&-4&-6\\15&5&-1&-3&-1&5&15\\20&0&-4&0&4&0&-20\\15&-5&-1&3&-1&-5&15\\6&-4&2&0&-2&4&-6\\1&-1&1&-1&1&-1&1\end{array}}\right].}$

Примітки

1. N. Bose, “Digital Filters: Theory and Applications” [North-Holland Elsevier, N.Y., 1985](англ.)
2. P. Feinsilver, J. Kocik: Krawtchouk polynomials and Krawtchouk matrices, Recent advances in applied probability, Springer-Verlag, October, 2004 [ 14 квітня 2012 у Wayback Machine.](англ.)

Посилання

• Поліноми Кравчука [ 5 лютого 2007 у Wayback Machine.]