Поліноми Кравчука ( М. П. Кравчук, 1929) належать до класичних ортогональних поліномів дискретної змінної на рівномірній сітці, для яких співвідношення ортогональності являє собою не інтеграл, а ряд або скінченну суму: .
Тут — вагова функція, — квадратична норма, . Для вагова функція з точністю до постійного множника зводиться до біноміального коефіцієнта.
Рекурентне співвідношення для цих поліномів має вигляд .
Шляхом нескладних перетворень його можна привести до вигляду
,
де
Поліноми Кравчука можуть бути виражені через гіпергеометричну функцію Гауса:
В границі при поліноми Кравчука переходять у Поліноми Ерміта:
Перші чотири поліноми для найпростішого випадку :
Породжуюча функція
Звичайна породжуюча функція
Джерела
- А. Ф. Никифоров, С. К. Суслов, В. Б. Уваров. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной. Москва, «Наука», 1985.
- Krawtchouk Polynomials Home Page
Див. також
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Polinomi Kravchuka M P Kravchuk 1929 nalezhat do klasichnih ortogonalnih polinomiv diskretnoyi zminnoyi na rivnomirnij sitci dlya yakih spivvidnoshennya ortogonalnosti yavlyaye soboyu ne integral a ryad abo skinchennu sumu x 0Nkn p x km p x s x dn2 dm n displaystyle sum limits x 0 N k n p x k m p x sigma x d n 2 delta m n Tut s x Nx pxqN x displaystyle sigma x binom N x p x q N x vagova funkciya dn Nn pq n displaystyle d n sqrt binom N n pq n kvadratichna norma 0 lt p lt 1 0 lt q lt 1 p q 1 displaystyle 0 lt p lt 1 quad 0 lt q lt 1 quad p q 1 Dlya p q 1 2 displaystyle p q 1 left 2 right vagova funkciya z tochnistyu do postijnogo mnozhnika 1 2N displaystyle 1 left 2 N right zvoditsya do binomialnogo koeficiyenta Rekurentne spivvidnoshennya dlya cih polinomiv maye viglyad n 1 kn 1 p x pq N n 1 kn 1 p x x n p q pN kn p x displaystyle n 1 k n 1 p x pq left N n 1 right k n 1 p x bigl x n p q pN bigr k n p x Shlyahom neskladnih peretvoren jogo mozhna privesti do viglyadu fn 1kn 1 p x dn 1 fnkn 1 p x dn 1 rx en D kn p x dn displaystyle f n 1 frac k n 1 p x d n 1 f n frac k n 1 p x d n 1 left rx varepsilon n Delta right frac k n p x d n de fn n N 1 n N r 1pqN e r p q D rpN displaystyle f n sqrt frac n N 1 n N quad r frac 1 sqrt pqN quad varepsilon r p q quad Delta rpN Polinomi Kravchuka mozhut buti virazheni cherez gipergeometrichnu funkciyu Gausa kn p x 1 n Nn pn2F1 n x N 1 p displaystyle k n p x 1 n binom N n p n 2 F 1 n x N 1 p V granici pri N displaystyle N to infty polinomi Kravchuka perehodyat u Polinomi Ermita limN 2 Npq n 2n kn p Np 2Npq x Hn x displaystyle lim limits N to infty left 2 Npq right n 2 n k n p left Np sqrt 2Npq x right H n x Pershi chotiri polinomi dlya najprostishogo vipadku p q 1 2 displaystyle p q 1 2 K0 x N 1 displaystyle mathcal K 0 x N 1 K1 x N 2x N displaystyle mathcal K 1 x N 2x N K2 x N 2x2 2Nx N2 displaystyle mathcal K 2 x N 2x 2 2Nx N choose 2 K3 x N 43x3 2Nx2 N2 N 23 x N3 displaystyle mathcal K 3 x N frac 4 3 x 3 2Nx 2 left N 2 N frac 2 3 right x N choose 3 Porodzhuyucha funkciya Zvichajna porodzhuyucha funkciya 1 q 1 z n x 1 z x k 0 Kk x n q zk displaystyle begin aligned 1 q 1 z n x 1 z x amp sum k 0 infty mathcal K k x n q z k end aligned DzherelaA F Nikiforov S K Suslov V B Uvarov Klassicheskie ortogonalnye polinomy diskretnoj peremennoj Moskva Nauka 1985 Krawtchouk Polynomials Home PageDiv takozhMatrici Kravchuka