Ки́лим Серпі́нського — це плоский фрактал, вперше описаний (Вацлавом Серпінським) в 1916 році. Килим є одним із прикладів множини Кантора у двох вимірах (у більших вимірах — ). Серпінський продемонстрував, що цей фрактал є , де будь-який можливий одновимірний граф, спроектований на двовимірну , до підмножини серветки Серпінського. Для кривих, які не можуть бути зображені на двовимірній поверхні без самоперетинань, відповідна універсальна крива — (губка Менгера), узагальнення для більших вимірів.
Побудова
Побудова килима Серпінського починається із квадрата. Квадрат розрізається на 9 (конгруентних) підквадратів, що утворюють сітку три на три, і центральний підквадрат видаляється. Та ж процедура нескінченно рекурсивно застосовується до вісьмох квадратів, що залишилися. На ілюстрації нижче показані перші ітерації процесу побудови.
Килим Серпінського: | |||||
Фаза 0 | Фаза 1 | Фаза 2 | Фаза 3 | Фаза 4 | Фаза 5 |
- має (розмірність Гаусдорфа) . Як наслідок, міра Лебега дорівнює нулю.
Броунівський рух на килимі Серпінського
Тема броуновського руху на килимі Серпінського в останні роки привернула науковий інтерес. Мартін Барлоу й Річард Басс показали, що випадкове блукання на килимі Серпінського поширюється з меншою швидкістю ніж необмежене випадкове блукання на площині. Для останнього випадку середня відстань пропорційна n1/2 після «n» кроків, а випадкове блукання на дискретному килимі Серпінського дає середню відстань, пропорційну n1/β для деякого β > 2. Мартін Барлоу й Річард Басс також показали, що це випадкове блукання задовольняє сильнішим нерівностям (так званим «субгаусовим нерівностям») і задовольняє овальній , при цьому не задовольняючи параболічній. Існування цього прикладу було відкритою проблемою багато років.
Комп'ютерна програма
Наступний Java-аплет малює килим Серпінського за допомогою методу, що рекурсивно викликає себе:
import java.awt.*; import java.applet.*; public class SierpinskiCarpet extends Applet { private Graphics g=null; private int d0=729; // 3^6 public void init() { g=getGraphics(); resize(d0,d0); } public void paint(Graphics g) { // start recursion: drawSierpinskiCarpet ( 0, 0, getWidth(), getHeight() ); } private void drawSierpinskiCarpet(int xTL, int yTL, int width, int height) { if (width>2 && height>2) { int w=width/3, h=height/3; g.fillRect ( xTL+w, yTL+h, w, h ); for (int k=0;k<9;k++) if (k!=4) { int i=k/3, j=k%3; drawSierpinskiCarpet ( xTL+i*w, yTL+j*h, w, h ); // recursion } } } }
Див. також
- Трикутник Серпінського
- (Губка Менгера)
- Крива Серпінського
Примітки
- W. Sierpinski. Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoquet et continue detoute courbe donnée. //Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. - Paris. – Tome 162, Janvier - Juin 1916. - Pp. 629 – 632. - [[https://web.archive.org/web/20210824050957/https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3115n.f631 Архівовано 24 Серпня 2021 у Wayback Machine.]]
Посилання
- Variations on the Theme of Tremas II [ 28 Вересня 2006 у Wayback Machine.]
Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Sierpinski carpet |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет