Квазігрупа — алгебрична структура в абстрактній алгебрі, що подібна до групи тим, що в ній завжди можливе ділення (інших властивостей групи квазігрупа немає).
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHpMek5tTDAxaFoyMWhYM1J2WDJkeWIzVndOQzV6ZG1jdk1qZ3djSGd0VFdGbmJXRmZkRzlmWjNKdmRYQTBMbk4yWnk1d2JtYz0ucG5n.png)
від магми до групи.
Квазігрупа з одиницею називається лупа (англ. loop — «петля»).
Визначення
Є два еквівалентні визначення:
Квазігрупа (Q, *) — це множина Q з бінарною операцією * : Q × Q → Q (тобто магма), такою що для довільних a, b ∈ Q існують і єдині x, y ∈ Q, що:
- a * x = b,
- y * a = b.
Розв'язки цих рівнянь записують так:
- x = a \ b,
- y = b / a.
Операції \ та / називають лівим та правим діленням. Якщо визначена тільки одна з операцій, то таку структуру називають ліва чи права квазігрупа, відповідно.
Квазігрупа (Q, *, \, /) — універсальна алгебра сигнатури (2,2,2), що задовільняє тотожності:
- y = x * (x \ y),
- y = x \ (x * y),
- y = (y / x) * x,
- y = (y * x) / x.
Якщо (Q, *) є квазігрупою за першим визначенням, тоді (Q, *, \, /) є еквівалентною квазігрупою в розумінні універсальної алгебри.
Лупа — квазігрупа з одиничним елементом e, тобто, таким що:
- x*e = x = e*x .
Приклади
- Група є частковим випадком квазігрупи, а саме — асоціативною квазігрупою з одиницею.
- Цілі числа
з операцією віднімання (−) є квазігрупою.
- Ненульові раціональні числа
(чи дійсні числа
) з операцією ділення (÷) є квазігрупою.
- Раціональні числа
(чи дійсні числа
) з операцією x * y = (x + y) / 2 (середнє арифметичне) є ідемпотентною, комутативною квазігрупою.
- Множина {±1, ±i, ±j, ±k} де ii = jj = kk = +1 та всі інші добутки визначені як в кватерніонах, є лупою.
- Октави є неасоціативною лупою по множенню.
Властивості
Латинські квадрати
- Таблиця множення скінченної квазігрупи утворює латинський квадрат. І навпаки, довільний латинський квадрат може бути вибраний за таблицю множення, щоб утворити квазігрупу.
- Ліва квазігрупа є скорочуваною зліва якщо ∀a, b,c ∈ Q: з (ab = ac) слідує (b = c).
- Права квазігрупа є скорочуваною справа якщо ∀a, b,c ∈ Q: з (ba = ca) слідує (b = c).
- Квазігрупа є скорочуваною зліва та справа. Кажуть — має властивість скорочення.
Властивість обернення
Одиничний елемент лупи є єдиним, тому для кожного елемента лупи існує єдиний лівий та правий обернений елемент:
- a L = e / a, a L a = e,
- a R = a \ e, a a R = e.
Примітка: використали праве та ліве ділення.
- Лупа має обернення зліва якщо задовільняє тотожність xL (xy)=y, чи еквівалентну x\y=xL y.
- Лупа має обернення справа якщо задовільняє тотожність (yx)xR=y, чи еквівалентну y/x=y xR.
- Лупа має антиафтоморфне обернення якщо задовільняє тотожність (xy)L = yL xL, чи еквівалентну (xy)R = yR xR.
- Лупа має слабе обернення якщо задовільняє тотожність (xy)L x=yL, чи еквівалентну x(yx)R=yR.
Якщо лупа задовільняє дві з вищеперечислених властивостей, то вона задовільняє всі чотири властивості і кажуть — має властивість обернення. І тоді xL = xR для всіх елементів.
Морфізми
Гомоморфізм квазігруп чи луп це відображення f: Q → P таке що f(xy) = f(x)f(y). Воно зберігає ліве та праве ділення а також одиницю (якщо існує).
Гомотопія та ізотопія
- Гомотопія квазігруп з Q в P є трійка (α, β, γ) відображень з Q в P такі, що
Гомоморфізм квазігруп є гомотопією, де всі відображення збігаються.
- Ізотопія це гомотопія, в якій всі три відображення (α, β, γ) є бієктивними.
- Автотопія — це ізотопія квазігрупи в себе.
- Довільна квазігрупа ізотопна лупі. Якщо лупа ізотопна групі, тоді вона є групою. Хоча, квазігрупа, що ізотопна групі, може не бути групою.
Література
- Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — 2 изд. — М. : Наука, 1973. — 400 с.(рос.)
- Мальцев А. И. Алгебраические системы. — Москва : Наука, 1970. — 392 с.(рос.)
- Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)
- В.Д. Белоусов. Основы теории квазигрупп и луп. — Москва : Наука, 1967.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет