Зовнівписане коло трикутника — коло, яке дотикається до сторони трикутника та продовження двох інших його сторін .
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODJMelptTDBsdVkybHlZMnhsWDJGdVpGOUZlR05wY21Oc1pYTXVjM1puTHpJd01IQjRMVWx1WTJseVkyeGxYMkZ1WkY5RmVHTnBjbU5zWlhNdWMzWm5MbkJ1Wnc9PS5wbmc=.png)
Будь-який трикутник має три зовнівписані кола з центрами , , , які дотикаються до сторін , , відповідно. Радіуси цих кіл позначають , , відповідно.
Властивості
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.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.png)
- Центр
зовнівписаного кола є точкою перетину бісектриси кута
та двох бісектрис зовнішніх кутів з вершинами
і
трикутника
.
- Нехай точки
та
— точки дотику зовнівписаного кола з центром
до продовжень сторін
та
трикутника
. Тоді
.
- Доведення.
- За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки,
. За цією ж властивістю маємо, що
та
, де
— точка дотику цього кола до сторони
. Тоді
. Оскільки
, то кожен з цих відрізків рівний половині їх суми, тобто
.
- З попередньої властивості легко випливає, що
та
.
,
,
, де
— площа трикутника
, а
.
- Доведення.Нехай
— точка дотику зовнівписаного кола з центром
до сторони
трикутника
. Тоді
. Звідси
. Аналогічно можна легко отримати, що
та
.
- Доведення.Нехай
.
- Доведення.
- З попередньої властивості маємо, що
. Звідси
(за формулою Герона), а тому
.
.
- Доведення.
- З попередньої властивості,
, звідки
, а тому
.
.
- Доведення.
- Розпишемо:
. З того, що
(одна з попередніх властивостей), маємо
. Аналогічно
та
. Також справедлива формула
, оскільки
. Замінивши компоненти в першій рівності, одержимо
. Скоротивши обидві частини останньої рівності на ненульовий множник
, отримаємо остаточно
.
- Нехай
— центр вписаного кола,
— центр зовнівписаного кола. Тоді описане навколо трикутника
коло ділить відрізок
навпіл. Іншими словами, якщо
— точка перетину бісектриси кута
та описаного кола трикутника
, то
(Лема Мансіона, частина теореми про трилисник (тризуб)).
Див. також
Література
- Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — 592 с.: ил.
- Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Геометрія: підруч. для 8 кл. з поглибл. вивченням математики. — Х.: Гімназія, 2009. — 240 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Zovnivpisane kolo trikutnika kolo yake dotikayetsya do storoni trikutnika ta prodovzhennya dvoh inshih jogo storin Trikutnik chornij z vpisanim kolom sinim zovnivpisanimi kolami pomaranchevi bisektrisami vnutrishnih chervoni ta zovnishnih zeleni kutiv Bud yakij trikutnik maye tri zovnivpisani kola z centrami IA displaystyle I A IB displaystyle I B IC displaystyle I C yaki dotikayutsya do storin a displaystyle a b displaystyle b c displaystyle c vidpovidno Radiusi cih kil poznachayut ra displaystyle r a rb displaystyle r b rc displaystyle r c vidpovidno VlastivostiIlyustraciya dovedennya vlastivostejCentr IA displaystyle I A zovnivpisanogo kola ye tochkoyu peretinu bisektrisi kuta A displaystyle angle A ta dvoh bisektris zovnishnih kutiv z vershinami B displaystyle B i C displaystyle C trikutnika ABC displaystyle ABC Nehaj tochki T displaystyle T ta F displaystyle F tochki dotiku zovnivpisanogo kola z centrom IA displaystyle I A do prodovzhen storin AB displaystyle AB ta AC displaystyle AC trikutnika ABC displaystyle ABC Todi AT AF p a b c2 displaystyle AT AF p frac a b c 2 Dovedennya Za vlastivistyu dotichnih provedenih do kola z odniyeyi tochki AT AF displaystyle AT AF Za ciyeyu zh vlastivistyu mayemo sho BK BF displaystyle BK BF ta CT CK displaystyle CT CK de K displaystyle K tochka dotiku cogo kola do storoni BC displaystyle BC Todi AT AF AC CT AB BF AC CK AB BK AC AB BC a b c PABC displaystyle AT AF AC CT AB BF AC CK AB BK AC AB BC a b c P ABC Oskilki AT AF displaystyle AT AF to kozhen z cih vidrizkiv rivnij polovini yih sumi tobto AT AF p a b c2 displaystyle AT AF p frac a b c 2 dd Z poperednoyi vlastivosti legko viplivaye sho BK p c displaystyle BK p c ta CK p b displaystyle CK p b ra Sp a displaystyle r a frac S p a rb Sp b displaystyle r b frac S p b rc Sp c displaystyle r c frac S p c de S displaystyle S plosha trikutnika ABC displaystyle ABC a p a b c2 displaystyle p frac a b c 2 Dovedennya Nehaj K displaystyle K tochka dotiku zovnivpisanogo kola z centrom IA displaystyle I A do storoni BC displaystyle BC trikutnika ABC displaystyle ABC Todi SABC SABIA SACIA SBCIA 12AB ra 12AC ra 12BC ra 12ra b c a ra p a displaystyle S ABC S ABI A S ACI A S BCI A frac 1 2 AB cdot r a frac 1 2 AC cdot r a frac 1 2 BC cdot r a frac 1 2 r a b c a r a p a Zvidsi ra Sp a displaystyle r a frac S p a Analogichno mozhna legko otrimati sho rb Sp b displaystyle r b frac S p b ta rc Sp c displaystyle r c frac S p c dd S rarbrcp displaystyle S frac r a r b r c p Dovedennya Z poperednoyi vlastivosti mayemo sho S ra p a rb p b rc p c displaystyle S r a p a r b p b r c p c Zvidsi S3 rarbrc p a p b p c rarbrcS2p displaystyle S 3 r a r b r c p a p b p c frac r a r b r c S 2 p za formuloyu Gerona a tomu S rarbrcp displaystyle S frac r a r b r c p dd S rrarbrc displaystyle S sqrt rr a r b r c Dovedennya Z poperednoyi vlastivosti S rarbrcp rrarbrcrp rrarbrcS displaystyle S frac r a r b r c p frac rr a r b r c rp frac rr a r b r c S zvidki S2 rrarbrc displaystyle S 2 rr a r b r c a tomu S rrarbrc displaystyle S sqrt rr a r b r c dd 1r 1ra 1rb 1rc displaystyle frac 1 r frac 1 r a frac 1 r b frac 1 r c Dovedennya Rozpishemo p 3p 2p 3p a b c p a p b p c displaystyle p 3p 2p 3p a b c p a p b p c Z togo sho ra Sp a displaystyle r a frac S p a odna z poperednih vlastivostej mayemo p a Sra displaystyle p a frac S r a Analogichno p b Srb displaystyle p b frac S r b ta p c Src displaystyle p c frac S r c Takozh spravedliva formula p Sr displaystyle p frac S r oskilki S rp displaystyle S rp Zaminivshi komponenti v pershij rivnosti oderzhimo Sr Sra Srb Src displaystyle frac S r frac S r a frac S r b frac S r c Skorotivshi obidvi chastini ostannoyi rivnosti na nenulovij mnozhnik S displaystyle S otrimayemo ostatochno 1r 1ra 1rb 1rc displaystyle frac 1 r frac 1 r a frac 1 r b frac 1 r c dd Nehaj I displaystyle I centr vpisanogo kola IA displaystyle I A centr zovnivpisanogo kola Todi opisane navkolo trikutnika ABC displaystyle ABC kolo dilit vidrizok IIA displaystyle II A navpil Inshimi slovami yaksho W displaystyle W tochka peretinu bisektrisi kuta A displaystyle angle A ta opisanogo kola trikutnika ABC displaystyle ABC to IW WIA displaystyle IW WI A Lema Mansiona chastina teoremi pro trilisnik trizub Div takozhVpisane kolo Opisane kolo BisektrisaLiteraturaKushnir I A Geometriya Poisk i vdohnovenie M MCNMO 2013 592 s il ISBN 978 5 4439 0058 2 Merzlyak A G Polonskij V B Yakir M S Geometriya pidruch dlya 8 kl z poglibl vivchennyam matematiki H Gimnaziya 2009 240 s ISBN 978 966 474 012 5