Еквівалентність

Логічна еквівалентність (еквіваленція) — двомісна логічна операція, що має значення «істина» тоді і тільки тоді, коли обидва операнди мають однакове значення. В інших випадках еквіваленція буде хибною. Операція відображає вживання сполучника «тоді і тільки тоді» в логічних висловлюваннях.

Еквівалентність позначають символами: ${\displaystyle \leftrightarrow }$, ${\displaystyle ~\equiv }$.
( ${\displaystyle A\leftrightarrow B}$, ${\displaystyle A\equiv B}$ ).

Висловлення ${\displaystyle A\leftrightarrow B}$ є правдивим тоді і тільки тоді, коли водночас правдиві обидві імплікації ${\displaystyle A\rightarrow B}$ та ${\displaystyle B\rightarrow A}$, тобто:

${\displaystyle A\leftrightarrow B=(A\rightarrow B)\land (B\rightarrow A)}$.

У природній мові аналогами еквіваленції є вирази:

A тоді і тільки тоді, коли B

A якщо B і B якщо A

Для A достатньо і необхідно B

A матеріально еквівалентно B

Визначення

Діаграма Венна для операції ${\displaystyle A\leftrightarrow B}$

Таблиця істинності виглядає таким чином:

${\displaystyle ~A}$	${\displaystyle ~B}$	${\displaystyle A\leftrightarrow B}$
хибність	хибність	істина
хибність	істина	хибність
істина	хибність	хибність
істина	істина	істина

Ця таблиця відрізняється від таблиці істинності для імплікації другим рядком, а від таблиці істинності для конверсії імплікації  — третім рядком.

Також еквівалентність є запереченням виключної диз’юнкції, тобто

${\displaystyle (A\leftrightarrow B)=\lnot (A\oplus B)}$

Оскільки імплікація виражає відношення між достатньою умовою та її наслідком, а конверсія імплікації  — між необхідною умовою та її наслідком, то еквіваленція або подвійна імплікація, виражає відношення між достатньою і необхідною умовою та її наслідком.

Наприклад, "Якщо він знає англійську мову, то він перекладе цей текст", "Якщо геометрична фігура квадрат, то її діагоналі діляться навпіл". Як у матеріальній імплікації сполучник "якщо, то ..." не виражає смислового зв'язку між антецедентом і консеквентом, так і в еквіваленції сполучник "якщо і тільки якщо" не виражає змістовно зв'язку між лівою і правою частинами еквівалентності; він виражає лише відношення між їх істинними значеннями ("істина", "хибність"). Ця особливість еквіваленції відіграє важливу роль для операцій із символами у логічних численнях.

Знання логічної еквіваленції дає можливість:

• а) спростити запис послідовності висловлювань;
• б) перейти від одного висловлювання до логічно еквівалентного йому (тобто, з тим самим істинним значенням);
• в) замінити у послідовності формул одні формули на інші.

Властивості

• рефлексивність

${\displaystyle a\leftrightarrow a}$

• асоціативність

${\displaystyle a\leftrightarrow (b\leftrightarrow c)\equiv (a\leftrightarrow b)\leftrightarrow c}$

• комутативність

${\displaystyle a\leftrightarrow b\equiv b\leftrightarrow a}$

• дистрибутивність

${\displaystyle a\lor (b\leftrightarrow c)\equiv (a\lor b)\leftrightarrow (a\lor c)}$

Функціональна повнота

Множина операцій ${\displaystyle \{\leftrightarrow ,\not \to \}}$ є функціонально повною:

${\displaystyle \lnot a\equiv (a\leftrightarrow a)\not \to a}$

${\displaystyle \lnot a\equiv a\leftrightarrow (a\not \to a)}$

${\displaystyle a\to b\equiv \lnot (a\not \to b)}$

...

Дивись також

• Відношення еквівалентності
• Булева множина
• Закони де Моргана
• Список логічних символів

Джерела і посилання

• Конверський А. Є. Логіка: Підручник для студентів юридичних факультетів. — К.: Центр навчальної літератури, 2004. — 304 с.

Література

• Еквівалентність // Філософський енциклопедичний словник / В. І. Шинкарук (гол. редкол.) та ін. — Київ : Інститут філософії імені Григорія Сковороди НАН України : Абрис, 2002. — 742 с. — 1000 екз. — ББК 87я2. — .