Джойн (топологія)

В топології джойн (іноді з'єднання) ${\displaystyle A*B}$ двох топологічних просторів A і B визначається як фактор-простір

Джойн двох відрізків — тривимірне тіло, що позначене сірим кольором. Вихідні простори A і B позначені зеленим і блакитним кольорами.

${\displaystyle A*B=(A\times B\times I)/\sim ,\,}$

де I — це відрізок [0, 1], а відношення еквівалентності має такий вигляд:

${\displaystyle (a,b_{1},0)\sim (a,b_{2},0)\quad \forall a\in A\quad \forall b_{1},b_{2}\in B,}$

${\displaystyle (a_{1},b,1)\sim (a_{2},b,1)\quad \forall a_{1},a_{2}\in A\quad \forall b\in B,}$

а при ${\displaystyle \lambda \neq 0,1}$ точка ${\displaystyle (a,b,\lambda )}$ еквівалентна сама собі. Таким чином, джойн стискає ${\displaystyle A\times B\times \{0\}}$ у ${\displaystyle A}$, а ${\displaystyle A\times B\times \{1\}}$ — у ${\displaystyle B}$.

З інтуїтивної точки зору, джойн ${\displaystyle A*B}$ утворюється шляхом двох просторів та проведенням усіх можливих відрізків, що з'єднують кожну точку з A з усіма точками з B.

Приклади

• Джойн простору ${\displaystyle X}$ і простору, що складається з однієї точки, має назву конуса ${\displaystyle CX}$ простора ${\displaystyle X}$.
• Джойн простору ${\displaystyle X}$ і нуль-вимірної сфери ${\displaystyle S^{0}}$ (тобто, дискретного простору з двох точок) має назву надбудови ${\displaystyle SX}$ простора ${\displaystyle X}$.
• Джойн двох сфер ${\displaystyle S^{n}}$ і ${\displaystyle S^{m}}$ — це сфера ${\displaystyle S^{m+n}}$.
• Джойн n точок — це опуклий (n-1)-вимірний багатогранник, що має назву (n-1)-симплекса.

Література

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М. : Фазис, 1997. — 132 с.
• Хатчер А. Алгебраическая топология = Algebraic Topology. — М. : МЦНМО, 2011. — 688 с.