Гамільто́нова меха́ніка — одне з формулювань законів механіки, загалом аналогічне законам Ньютона, але зручне для узагальнень, використання в статистичній фізиці й для переходу до квантової механіки.
Функція Гамільтона
Функція Гамільтона визначається через узагальнені координати і узагальнені імпульси виходячи з функції Лагранжа наступним чином:
Узагальнені імпульси вводяться як
- .
Функція Гамільтона визначається формулою
- .
Після цього всі узагальнені швидкості в виражаються через узагальнені імпульси й координати.
За своєю суттю функція Гамільтона є енергією системи, вираженою через координати й імпульси.
У випадку стаціонарних зв'язків і потенційних зовнішніх сил
- ,
тобто функція Гамільтона є сумою потенційної і кінетичної енергій, але при цьому кінетична енергія повинна бути виражена через імпульси, а не через швидкості.
Канонічні рівняння Гамільтона
Рівняння еволюції динамічної системи записуються в Гамільтоновій механіці у вигляді
- ,
- .
Ці рівняння називаються канонічними рівняннями Гамільтона. Вони повністю визначають еволюцію системи з часом у тому сенсі, що знаючи значення узагальнених координат і швидкостей в певний початковий момент часу, можна визначити їхні значення в будь-який наступний момент часу, розв'язуючи дану систему рівнянь.
Практичні використання
Функція Гамільтона для заряду в електромагнітному полі
Загалом сила Лоренца не є потенціальною силою, оскільки залежить від швидкості руху заряду. Проте її можна включити в Гамільтонову механіку записавши функцію Гамільтона зарядженої частинки в наступній формі (гаусова система одиниць):
де — заряд частинки, — електростатичний потенціал, — векторний потенціал.
В релятивістському випадку:
- .
Функція Гамільтона в теорії відносності
Функцію Гамільтона у релятивістському випадку можна отримати шляхом стандартної процедури, знаючи функцію Лагранжа (див. "Механіку" Ландау):
Як видно, її вираз повністю збігається із виразом для потенціальної енергії релятивістської частки, і не залежить у явній формі від імпульса. Знаючи релятивістський імпульс, цей вираз можна переписати у вигляді квадратичної форми:
- ,
з якої і отримуємо загальновизнаний вираз для функції Гамільтона:
- .
Цей вираз для функції Гамільтона широко використовується в класичній та квантовій механіці.
Використання у квантовій механіці
У квантовій механіці оператор енергії будується із класичної функції Гамільтона заміною узагальнених імпульсів на оператори імпульсу , де -- зведена стала Планка. Такий оператор називається гамільтоніаном, а процедура переходу від функції Гамільтона до гамільтоніану називається процедурою квантування.
Гамільтоніан є головним оператором у квантовій механіці, оскільки входить в головне рівняння квантової механіки — рівняння Шредінгера.
Механічний осцилятор
У випадку класичного механічного осцилятора (без тертя) функція Гамільтона має такий вигляд:
де коефіцієнт жорсткості, а маса тіла.
Перше диференційне рівняння Гамільтона буде:
- ,
Друге диференційне рівняння Гамільтона має вигляд:
- ,
Звідси можна отримати рівняння руху:
- .
Можна також привести значення "дії" на проміжку одного періоду коливань:
де амплітуда коливань, циклічна частота, а період.
Електричний осцилятор
Для класичного контуру функція Гамільтона має вигляд:
де "магнітний імпульс" (фактично - магнітний потік).
Можна також привести значення "дії" на проміжку одного періоду коливань:
де амплітудне значення заряду, циклічна частота, а період коливань.
Див. також
Джерела
- Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
- Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К. : Вища школа, 1975. — 516 с.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2007. — Т. 1. — 224 с.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2006. — Т. 2. — 536 с.
- тер Хаар Д. Основы гамильтоновой механики. — М. : Наука, 1974. — 224 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет