В теорії вузлів діаграма вузла або зачеплення є альтернованою, якщо перетини чергуються — під, над, під, над і т. д., якщо йти вздовж кожної компоненти зачеплення. Зачеплення є альтернованим, якщо воно має альтерновану діаграму.
Багато з вузлів з числом перетинів, меншим 10, є альтернованими. Цей факт і корисні властивості альтернованих вузлів, такі як гіпотези Тета, дозволили деяким дослідникам, включно з Тейтом, скласти таблиці з відносно малим числом помилок або упущень. Найпростіші неальтерновані прості вузли мають 8 перетинів (і є три таких вузли — 819, 820, 821).
Існує гіпотеза, що в міру зростання числа перетинів відсоток неальтернованих вузлів прямує до 0 експоненціально швидко.
Альтерновані зачеплення відіграють важливу роль у теорії вузлів і теорії [en] внаслідок того, що їх доповнення мають корисні й цікаві геометричні та топологічні властивості. [en] поставив питання: «Що є альтернований вузол?», тобто, які властивості доповнення вузла, не пов'язані з діаграмами, можуть характеризувати альтерновані вузли.
В листопаді 2015 Джошуа Еван Ґрін опублікував препринт, у якому встановлюється характеризація альтернованих зачеплень у термінах визначення стягувальних поверхонь, тобто визначення альтернованих зачеплень (серед яких альтерновані вузли є окремим випадком) без використання концепції діаграм зачеплень.
Різна геометрична й топологічна інформація відкривається в альтернованих діаграмах. Простоту і [en] зачеплення добре видно на діаграмі. Число перетинів наведеної альтернованої діаграми є числом перетинів вузла, і це одна зі знаменитих гіпотез Тейта.
Альтернована діаграма вузла має відповідність один-до-одного з планарним графом. Кожен перетин зв'язується з ребром і половина зв'язних компонент доповнення діаграми пов'язані з вершинами.
Гіпотези Тейта
Гіпотези Тейта:
- Будь-яка наведена діаграма альтернованого зачеплення має найменше з можливих число перетинів.
- Будь-які дві наведені діаграми того ж самого альтернованого вузла мають однакове число закрученості.
- Якщо дано дві наведені діаграми D1 і D2 орієнтованого простого альтернованого зачеплення, D1 можна перетворити на D2 шляхом послідовності простих рухів, які називаються [en]. Гіпотеза відома також як гіпотеза Тейта про перевертання.
Перші дві гіпотези Тейта довели [ru], [en] і Куніо Мурасугі (Kunio Murasugi) 1987 року, а 1991 року той самий Тістлетвейт і [en] довели гіпотезу Тейта про перевертання.
Гіперболічний об'єм
Вільям Менаско, застосувавши [en]Терстона для [ru], довів, що будь-яке просте нерозвідне альтерноване зачеплення є гіперболічним, тобто доповнення зачеплення має геометрію Лобачевського, якщо тільки зачеплення не є торичним.
Таким чином, гіперболічний об'єм є інваріантом багатьох альтернованих зачеплень. [en] показав, що об'єм має верхні і нижні лінійні границі як функції від числа ділянок перекручування на наведеній альтернувальній діаграмі.
Примітки
Література
- [en]. On Knots. — Princeton University Press, 1987. — Т. 115. — (Annals of Mathematics Studies). — .
- [en]. The Knot Book: An elementary introduction to the mathematical theory of knots. — 2004. — .
- [en]. Closed incompressible surfaces in alternating knot and link complements // Topology. — 1984. — Т. 23, вип. 1. — С. 37–44.
- [en]. The volume of hyperbolic alternating link complements. With an appendix by Ian Agol and Dylan Thurston // Proc. London Math. Soc. — 2004. — Т. 88, вип. 1. — С. 204–224.
Посилання
- Weisstein, Eric W. Alternating Knot(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Tait's Knot Conjectures(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Celtic Knotwork [ 7 травня 2022 у Wayback Machine.] — побудова альтернованого вузла за його планарним графом
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V teoriyi vuzliv diagrama vuzla abo zacheplennya ye alternovanoyu yaksho peretini cherguyutsya pid nad pid nad i t d yaksho jti vzdovzh kozhnoyi komponenti zacheplennya Zacheplennya ye alternovanim yaksho vono maye alternovanu diagramu Odin z troh nealternovanih vuzliv z chislom peretiniv 8 Bagato z vuzliv z chislom peretiniv menshim 10 ye alternovanimi Cej fakt i korisni vlastivosti alternovanih vuzliv taki yak gipotezi Teta dozvolili deyakim doslidnikam vklyuchno z Tejtom sklasti tablici z vidnosno malim chislom pomilok abo upushen Najprostishi nealternovani prosti vuzli mayut 8 peretiniv i ye tri takih vuzli 819 820 821 Isnuye gipoteza sho v miru zrostannya chisla peretiniv vidsotok nealternovanih vuzliv pryamuye do 0 eksponencialno shvidko Alternovani zacheplennya vidigrayut vazhlivu rol u teoriyi vuzliv i teoriyi en vnaslidok togo sho yih dopovnennya mayut korisni j cikavi geometrichni ta topologichni vlastivosti en postaviv pitannya Sho ye alternovanij vuzol tobto yaki vlastivosti dopovnennya vuzla ne pov yazani z diagramami mozhut harakterizuvati alternovani vuzli V listopadi 2015 Dzhoshua Evan Grin opublikuvav preprint u yakomu vstanovlyuyetsya harakterizaciya alternovanih zacheplen u terminah viznachennya styaguvalnih poverhon tobto viznachennya alternovanih zacheplen sered yakih alternovani vuzli ye okremim vipadkom bez vikoristannya koncepciyi diagram zacheplen Rizna geometrichna j topologichna informaciya vidkrivayetsya v alternovanih diagramah Prostotu i en zacheplennya dobre vidno na diagrami Chislo peretiniv navedenoyi alternovanoyi diagrami ye chislom peretiniv vuzla i ce odna zi znamenitih gipotez Tejta Alternovana diagrama vuzla maye vidpovidnist odin do odnogo z planarnim grafom Kozhen peretin zv yazuyetsya z rebrom i polovina zv yaznih komponent dopovnennya diagrami pov yazani z vershinami Gipotezi TejtaGipotezi Tejta Bud yaka navedena diagrama alternovanogo zacheplennya maye najmenshe z mozhlivih chislo peretiniv Bud yaki dvi navedeni diagrami togo zh samogo alternovanogo vuzla mayut odnakove chislo zakruchenosti Yaksho dano dvi navedeni diagrami D1 i D2 oriyentovanogo prostogo alternovanogo zacheplennya D1 mozhna peretvoriti na D2 shlyahom poslidovnosti prostih ruhiv yaki nazivayutsya en Gipoteza vidoma takozh yak gipoteza Tejta pro perevertannya Pershi dvi gipotezi Tejta doveli ru en i Kunio Murasugi Kunio Murasugi 1987 roku a 1991 roku toj samij Tistletvejt i en doveli gipotezu Tejta pro perevertannya Giperbolichnij ob yemDokladnishe Giperbolichnij ob yem Vilyam Menasko zastosuvavshi en Terstona dlya ru doviv sho bud yake proste nerozvidne alternovane zacheplennya ye giperbolichnim tobto dopovnennya zacheplennya maye geometriyu Lobachevskogo yaksho tilki zacheplennya ne ye torichnim Takim chinom giperbolichnij ob yem ye invariantom bagatoh alternovanih zacheplen en pokazav sho ob yem maye verhni i nizhni linijni granici yak funkciyi vid chisla dilyanok perekruchuvannya na navedenij alternuvalnij diagrami PrimitkiGreene Joshua 2015 Alternating links and definite surfaces arXiv 1511 06329 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite arXiv title Shablon Cite arXiv cite arXiv a Proignorovano nevidomij parametr version dovidka Weisstein Eric W Tait s Knot Conjectures angl na sajti Wolfram MathWorld Literatura en On Knots Princeton University Press 1987 T 115 Annals of Mathematics Studies ISBN 0 691 08435 1 en The Knot Book An elementary introduction to the mathematical theory of knots 2004 ISBN 0 8218 3678 1 en Closed incompressible surfaces in alternating knot and link complements Topology 1984 T 23 vip 1 S 37 44 en The volume of hyperbolic alternating link complements With an appendix by Ian Agol and Dylan Thurston Proc London Math Soc 2004 T 88 vip 1 S 204 224 PosilannyaWeisstein Eric W Alternating Knot angl na sajti Wolfram MathWorld Weisstein Eric W Tait s Knot Conjectures angl na sajti Wolfram MathWorld Celtic Knotwork 7 travnya 2022 u Wayback Machine pobudova alternovanogo vuzla za jogo planarnim grafom