Алгебраїчна алгебра

Алгебраїчна алгебра — алгебра А над полем F, всі елементи якої є алгебраїчними. Алгебра A називається алгебраїчною алгеброю обмеженого степеня, якщо вона алгебраїчна і степені мінімальних анулюючих многочленів її елементів обмежені деяким спільним числом. Підалгебри і гомоморфні образи алгебраїчної алгебри A теж є алгебраїчними алгебрами. Якщо при цьому A є алгеброю скінченного степеня то такими ж будуть і її підалгебри та гомоморфні образи

Приклади алгебраїчної алгебри: локально скінченні алгебри (зокрема скінченновимірні), нільалгебри, асоціативні тіла із зліченною множиною твірних над незліченним полем.

Властивості

• Радикал Джекобсона алгебраїчної алгебри є нільідеалом.
• Примітивна алгебраїчна алгебра є ізоморфною щільній алгебрі лінійних перетворень векторного простору над тілом, якщо при цьому А є алгеброю обмеженого степеня, то А — ізоморфна кільцю матриць над тілом.
• Алгебраїчна алгебра без ненульових нільпотентних елементів (зокрема, тіло) над скінченним полем є комутативною. Звідси випливає комутативність скінченних тіл.
• Якщо основне поле є незліченним, то алгебра, одержана з алгебраїчної алгебри розширенням основного поля, а також тензорний добуток алгебраїчних алгебр є алгебраїчною алгеброю.

Література

• Джекобсон Н. Строение колец. — Москва: Издательство иностранной литературы, 1961. — 392 с. (рос.)
• Херстейн И. Некоммутативные кольца. — Москва: Мир, 1972. — 190 с. (рос.)