Інверсія (геометрія)

Інверсія (від лат. inversio «звернення») відносно кола — перетворення евклідової площини, що переводить узагальнені кола (кола або прямі) в узагальнені кола, при якому одне з кіл поточково переводиться в себе.

Кардіоїда — інверсія параболи

Визначення

Інверсія

Нехай на евклідовій площині задано деяке коло ${\displaystyle \Gamma }$ з центром ${\displaystyle O}$ (що називається полюсом або центром інверсії, ця точка виколота) і радіусом ${\displaystyle R}$. Інверсія точки ${\displaystyle P}$ щодо ${\displaystyle \Gamma }$ є точка ${\displaystyle P'}$, що лежить на промені ${\displaystyle OP}$ така, що

${\displaystyle |OP'|\cdot |OP|=R^{2}.}$

Інверсія переводить внутрішню область кола у зовнішню, і назад.

Часто до площини додають «нескінченно віддалену точку» ${\displaystyle \infty }$ і вважають її інверсним образом ${\displaystyle O}$, а ${\displaystyle O}$ — інверсним образом ${\displaystyle \infty }$. У цьому випадку інверсія є бієктивним перетворенням цієї розширеної («колової площини»).

Аналогічно визначається інверсія евклідового простору щодо сфери та інверсія в евклідових просторах більш високих розмірностей.

Властивості

Образ центру кола не є центром образу

Інверсія відносно кола ${\displaystyle \Gamma }$ з центром O має такі основні властивості:

• Інверсія є інволюцією: якщо точка P переходить у точку Q, то і точка Q переходить у точку P.
• Пряма, що проходить через O, переходить у себе.
• Пряма, що не проходить через O, переходить у коло, що проходить через O з виколотою точкою O; і навпаки, коло, що проходить через O, переходить у пряму, яка не проходить через O.
• Коло, яке не проходить через O, переходить у коло, яке не проходить через O (при цьому образ його центру не є центром образу).
• Інверсія є конформним відображенням другого роду (тобто вона зберігає кути між кривими і змінює орієнтацію).
• Коло або пряма, перпендикулярна до ${\displaystyle \Gamma }$, переходить у себе.

Побудова

Побудова образу точки при інверсії щодо кола

Отримати образ P' точки P при інверсії відносно даного кола з центром O можна таким чином:

• Якщо відстань від P до O більша, ніж радіус кола — провести з P дотичну до кола, тоді перпендикуляр до прямої OP з точки дотику перетне цю пряму в шуканій точці P'
• Якщо відстань від P до O менша, ніж радіус кола — провести через P перпендикуляр до OP, а через точку його перетину з колом — дотичну до нього, яка перетне OP в шуканій точці P'
• Якщо відстань від P до O дорівнює радіусу кола, образ P збіжиться з нею самою.

Координатні подання

Декартові координати

Інверсія відносно одиничного кола з центром у початку координат задається співвідношенням

${\displaystyle (x,y)\mapsto \left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right)}$.

Якщо точку площини задати однієї комплексною координатою ${\displaystyle z=x+iy}$, то цей вираз можна подати у вигляді

${\displaystyle z\mapsto ({\bar {z}})^{-1}}$,

де ${\displaystyle {\bar {z}}}$ — комплексно спряжене число для ${\displaystyle z}$. Дана функція комплексної змінної є (антиголоморфною), звідки, зокрема, слідує конформність інверсії.

У загальному випадку інверсія щодо кола з центром у точці ${\displaystyle O=(x_{0},y_{0})}$ і радіусом ${\displaystyle r}$ задається співвідношенням

${\displaystyle (x,y)\mapsto \left(x_{0}+{\frac {r^{2}(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}},y_{0}+{\frac {r^{2}(y-y_{0})}{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\right)}$.

Полярні координати

Докладніше: Полярна система координат

Інверсія відносно кола радіусом ${\displaystyle r}$ з центром у початку координат задається співвідношенням

${\displaystyle (\phi ,\rho )\mapsto (\phi ,r^{2}/\rho )}$.

Застосування

• Застосуванням інверсії розв'язується (задача Аполлонія).
• На властивості інверсії ґрунтується (механізм Ліпкіна — Посельє).
• Застосуванням інверсії доводиться (теорема Мора — Маскероні), яка стверджує, що всі побудови, які можна зробити за допомогою циркуля і лінійки можна зробити за допомогою циркуля (пряма вважається побудованою, якщо відомі дві її точки)

Варіації та узагальнення

Інверсія відносно конічного перерізу

Можна визначити інверсію щодо довільного невиродженого конічного перетину, з тією лише різницею, що величина ${\displaystyle R}$ буде (змінною) відстанню від центра ${\displaystyle O}$ відповідної кривої (у випадку еліпса і гіперболи) до точок перетину цієї кривої з прямою ${\displaystyle OP}$.

У разі інверсії відносно гіперболи, залежно від сектора, в якому знаходиться точка ${\displaystyle P}$ між асимптотами, можливий випадок, коли пряма ${\displaystyle OP}$ не перетинається з гіперболою. Тоді для обчислення ${\displaystyle R}$ береться точка перетину цієї прямої зі спряженою гіперболою (якщо тільки точка ${\displaystyle P}$ не лежить на асимптоті), а відповідна величина ${\displaystyle R^{2}}$ береться зі знаком мінус, тобто промінь ${\displaystyle OP'}$ спрямовується в бік, протилежний до променя ${\displaystyle OP}$.

Інверсія відносно параболи — це просто симетричне відображення відносно неї вздовж прямої, паралельної осі параболи.

Альтернативне визначення — інверсія відносно конічного перерізу ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ як середина хорди, що відтинається (полярою) точки ${\displaystyle P}$ відносно ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ на ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$. Однак у випадку, коли відповідна поляра не перетинає ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$для повноти визначення доводиться застосовувати це, часткове, визначення у "зворотному напрямку" (${\displaystyle P'}$ — це така точка, що ${\displaystyle P}$ є серединою хорди, яку відтинає поляра ${\displaystyle P'}$ на ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$), що не завжди зручно.

Див. також

• (Інверсія кривої)

Примітки

1. Погорелов А. В. Геометрия. — М. : Наука, 1983. — С. 41—42.
2. Жижилкин, 2009.
3. Курант, 2000.

Посилання

• Ануфриенко С. А. Симметрия относительно окружности [ 1 вересня 2019 у Wayback Machine.].
• Бакельман И. Я. Инверсия [ 23 жовтня 2019 у Wayback Machine.]. ^[ru], Вып. 44, М., Наука, 1966.
• Жижилкин И. Д. Инверсия.. — М. : МЦНМО, 2009.
• Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?. — М. : МЦМО, 2000. — С. Гл. III, § 4.. — ISBN 5–900916–45–6.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)