Числа трибоначчі

Числа трибоначчі — послідовність цілих чисел ${\displaystyle \left\{t_{n}\right\}}$, задана за допомогою лінійного рекурентного співвідношення:

${\displaystyle t_{0}=0,\quad t_{1}=0,\quad t_{2}=1,\quad t_{n+3}=t_{n+2}+t_{n+1}+t_{n}}$.

Назва є варіацією назви «чисел Фібоначчі» — з доданням «три» (лат. tri-), що позначає кількість чисел, що додаються.

Послідовність чисел трибоначчі починається так:

0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, 121415, 223317, 410744, 755476, 1389537, 2555757, 4700770, 8646064, 15902591, 29249425, 53798080, 98950096, 181997601, 334745777, … (послідовність A000073 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Властивості

• При ${\displaystyle {n\to \infty }}$ відношення сусідніх членів ${\displaystyle {\tfrac {t_{n+1}}{t_{n}}}}$ прямує до ${\displaystyle C}$ — дійсного кореня характеристичного рівняння ${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1=0}$. Значення ${\displaystyle C}$ можна виразити в радикалах:

${\displaystyle C={\frac {1}{3}}\left[\left(19+3{\sqrt {33}}\right)^{1/3}+4\left(19+3{\sqrt {33}}\right)^{-1/3}+1\right]=1{,}839286755\ldots .}$

Десяткові цифри ${\displaystyle C}$ утворюють послідовність A058265 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

• Будь-який член ряду трибоначчі можна визначити зі співвідношення, аналогічного (формулі Біне) для чисел Фібоначчі.

${\displaystyle t_{n}=\left\lfloor 3\,b{\frac {\left({\frac {1}{3}}\left(a_{+}+a_{-}+1\right)\right)^{n}}{b^{2}-2b+4}}\right\rceil ,}$

де ${\displaystyle a_{\pm }=\left(19\pm 3{\sqrt {33}}\right)^{1/3}}$, ${\displaystyle b=\left(586+102{\sqrt {33}}\right)^{1/3}}$, а ${\displaystyle \lfloor \cdot \rceil }$ — округлення до найближчого цілого.

Див. також

• Узагальнення чисел Фібоначчі
• Послідовність Фібоначчі

Посилання

• Рекурентне співвідношення