Циклічний багатогранник

Циклі́чний многогра́нник — опуклий многогранник, вершини якого лежать на кривій ${\displaystyle t\mapsto (t,t^{2},\dots ,t^{d})}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$.

Конструкція

Нехай

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=(t,t^{2},\dots ,t^{d})\in \mathbb {R} ^{d}}$

і ${\displaystyle t_{1}<t_{2}<\dots <t_{n}}$.

Опукла оболонка ${\displaystyle n}$ точок ${\displaystyle \mathbf {x} (t_{1}),\mathbf {x} (t_{2}),\ldots ,\mathbf {x} (t_{n})}$ називається ${\displaystyle d}$-вимірним циклічним многогранником з ${\displaystyle n}$ вершинами і далі позначається ${\displaystyle C(n,d)}$.

Властивості

• Критерій Гейла: Нехай ${\displaystyle T=\{t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}\}}$, і ${\displaystyle T_{d}\subset T}$ — підмножина з ${\displaystyle d}$ елементів. Гіпергрань у ${\displaystyle C(n,d)}$ відповідає ${\displaystyle T_{d}}$ тоді й лише тоді, коли між будь-якими двома сусідніми числами в ${\displaystyle T_{d}}$ лежить парне число чисел ${\displaystyle T}$.
• Будь-які ${\displaystyle \lfloor {\tfrac {d}{2}}\rfloor }$ вершин ${\displaystyle C(n,d)}$ утворюють грань.
  • Зокрема, будь-які дві вершини 4-вимірного циклічного многогранника з'єднані ребром.
• Число ${\displaystyle i}$-вимірних граней у ${\displaystyle C(n,d)}$ при ${\displaystyle 0\leq i<\lfloor {\frac {d}{2}}\rfloor }$ дорівнює ${\displaystyle {\binom {n}{i+1}}}$.
  • Використовуючи тотожності Дена — Сомервіля, можна знайти число граней старших розмірностей.
  • Для будь-якого ${\displaystyle k}$ серед усіх ${\displaystyle d}$-вимірних многогранників з ${\displaystyle n}$ вершинами циклічні многогранники мають найбільше число ${\displaystyle k}$-вимірних граней.

Література

• В. А. Тиморин. Комбинаторика выпуклых многогранников. — МЦНМО, 2002. — (Летняя школа «Современная математика») — .