Функції випадкових величин

Функції випадкових величин — це один з основних розділів теорії ймовірностей та математичної статистики.

Означення

Нехай на ймовірносному просторі ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ задана випадкова величина ${\displaystyle \xi (\omega )}$, розглянемо функцію дійсного аргументу, область визначення якої включає в себе усі можливі значення заданої випадкової величини. Тоді випадкову величину, яка кожній елементарній події ${\displaystyle \omega }$ з простору елементарних подій ставить у відповідніcть число ${\displaystyle \theta (\omega )=f(\xi (\omega ))}$ — називають функцією від однієї випадкової величини. Зауваження: якщо випадкова величина, яка є аргументом функції, дискретна, то функція від цієї випадкової величини завжди буде дискретною випадковою величиною. А якщо неперервна — то відповідна випадкова величина ${\displaystyle \theta }$ може бути як дискретною так і неперервною, все залежить від функціональної залежності відповідних випадкових величин.

Приклад:

${\displaystyle \xi }$ має стандартний гаусівський розподіл; ${\displaystyle \theta =\operatorname {sgn}(\xi );}$ Тоді розподіл ${\displaystyle \theta }$ буде мати вигляд:

${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle P}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

Дискретний випадок

Розглянемо спочатку дискретну випадкову величину , закон розподілу якої має вигляд:

${\displaystyle \xi }$	х1	х2	${\displaystyle \dots }$	хn
р	p1	p2	${\displaystyle \dots }$	pn

Подія (${\displaystyle \xi =x_{i}}$) настає з імовірністю ${\displaystyle p_{i}}$, з цією ж ймовірністю ${\displaystyle \eta }$ набуває значення ${\displaystyle y_{i}=f(x_{i})}$. Тому закон розподілу випадкової величини ${\displaystyle \eta =f(\xi )}$ такий:

${\displaystyle \eta }$	ƒ(х1)	ƒ(х2)	${\displaystyle \dots }$	ƒ(хn)
р	p1	p2	${\displaystyle \dots }$	pn

Якщо існує декілька значень ${\displaystyle x_{i}}$, для яких ${\displaystyle f(x_{i})}$ одне і те саме, то всі такі випадки об'єднуються в один, якому відповідає за теоремою додавання ймовірність, що дорівнює сумі ймовірностей об'єднуваних подій.

Неперервний випадок

Приклад: Нехай ${\displaystyle X\simeq U(0,1)}$, і покладемо ${\displaystyle Y=X^{2}}$. Тоді

$${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(X^{2}\leq y)=P(X\leq {\sqrt {y}})=F_{X}({\sqrt {y}}).}$$

Диференціюючи даний вираз, маємо

$${\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}({\sqrt {y}}){\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}},\qquad 0<y<1,}$$

(і ${\displaystyle f_{Y}(y)=0}$ в іншому випадку).

Приклад: Нехай ${\displaystyle X\simeq U(0,1)}$, і нехай ${\displaystyle Y=-\operatorname {log} X}$. Тоді

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Y}(y)&=P(Y\leq y)=P(-\operatorname {log} X\leq y)=P(X\geq e^{-y})=\\&=1-F_{X}(e^{-y})=1-e^{-y},\qquad y>0,\end{aligned}}}$$

не важко помітити, що ${\displaystyle Y\simeq Exp(1)}$ (або взявши похідну отримаємо ${\displaystyle f_{Y}(y)=e^{-y}}$, для ${\displaystyle y>0}$ ).

Нехай ${\displaystyle X}$ має довільний неперервний розподіл, і припустимо, що ${\displaystyle g}$ диференційовна та строго зростає (обернена функція ${\displaystyle g^{-1}}$ існує та єдина). Покладемо ${\displaystyle Y=g(X)}$. Обчислення, подібні до наведених вище, дають нам

$${\displaystyle F_{Y}(y)=P(g(X)\leq y)=P(X\leq g^{-1}(y))=F_{X}(g^{-1}(y))}$$

та

$${\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}(g^{-1}(y))\cdot {\frac {d}{dy}}g^{-1}(y).}$$

Якби ${\displaystyle g}$ була строго спадною, ми б отримали

$${\displaystyle f_{Y}(y)=-f_{X}(g^{-1}(y))\cdot {\frac {d}{dy}}g^{-1}(y).}$$

(Зверніть увагу, що ${\textstyle f_{Y}(y)>0}$, так як ${\textstyle dg^{-1}(y)/dy<0}$).

В решті решт, ми показали, що якщо ${\textstyle g}$ строго монотонна, то

$${\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}(g^{-1}(y))\cdot |{\frac {d}{dy}}g^{-1}(y)|.}$$

Теорема про перетворення

Нехай ${\displaystyle {\textbf {X}}}$ — це ${\displaystyle n}$-мірний неперервний випадковий вектор, який має щільність ${\displaystyle f_{\textbf {X}}({\textbf {x}})}$, і припустимо, що ${\displaystyle {\textbf {X}}}$ має множину значень ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$. Нехай ${\displaystyle g=(g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n})}$ — бієкція від ${\displaystyle S}$ до деякої множини ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} ^{n}}$, і розглянемо ${\displaystyle n}$-мірний випадковий вектор

$${\displaystyle {\textbf {Y}}=g({\textbf {X}}).}$$

Це означає, що ми розглядаємо ${\textstyle n}$ випадкових величин

$${\displaystyle Y_{1}=g_{1}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}),}$$

$${\displaystyle Y_{2}=g_{2}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}),}$$

$${\displaystyle \vdots }$$

$${\displaystyle Y_{n}=g_{n}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}).}$$

Зрештою, припустимо, що ${\displaystyle g}$ та її обернена функція є неперервно диференційованими (для того щоб якобіан ${\displaystyle {\textbf {J}}=|\operatorname {d} ({\textbf {x}})/\operatorname {d} ({\textbf {y}})|}$ був коректно визначений).

Щільність ${\displaystyle {\textbf {Y}}}$ дорівнює

${\displaystyle f_{\textbf {Y}}({\textbf {y}})={\begin{cases}f_{\textbf {X}}(h_{1}({\textbf {y}}),h_{2}({\textbf {y}}),\ldots ,h_{n}({\textbf {y}}))\cdot |{\textbf {J}}|,&{\textbf {y}}\in T,\\0&{\textbf {y}}\notin T,\end{cases}}}$

де ${\displaystyle h}$ обернена (єдина) функція до ${\displaystyle g}$, і де

$${\displaystyle {\textbf {J}}=\left|{\frac {\operatorname {d} ({\textbf {x}})}{\operatorname {d} ({\textbf {y}})}}\right|={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial y_{1}}}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial y_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial x_{1}}{\partial y_{n}}}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial y_{1}}}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial y_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial x_{2}}{\partial y_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial x_{n}}{\partial y_{1}}}&{\frac {\partial x_{n}}{\partial y_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial x_{n}}{\partial y_{n}}}\end{vmatrix}};}$$

тобто, ${\displaystyle {\textbf {J}}}$ є якобіаном.

Доведення. Спочатку позначимо:

$${\displaystyle h(B)=\{{\textbf {x}}:g({\textbf {x}})\in B\},\qquad {\text{для}}\qquad B\subset \mathbb {R} ^{n}.}$$

Тепер

$${\displaystyle P({\textbf {Y}}\in B)=P({\textbf {X}}\in h(B))=\int _{h(B)}f_{\textbf {X}}({\textbf {x}})\operatorname {d} {\textbf {x}}.}$$

Проводио заміну ${\displaystyle {\textbf {y}}=g({\textbf {x}})}$ відповідно до формули для заміни змінних в кратних інтегралах:

$${\displaystyle P({\textbf {Y}}\in B)=\int _{B}f_{\textbf {X}}(h_{1}({\textbf {y}}),h_{2}({\textbf {y}}),\ldots ,h_{n}({\textbf {y}}))\cdot |{\textbf {J}}|\operatorname {d} {\textbf {y}}.}$$

Твердження теореми одразу випливає з наступного результату:

Нехай ${\displaystyle {\textbf {Z}}}$ це ${\displaystyle n}$-мірний неперервний випадковий вектор. Якщо для кожної ${\displaystyle B\in \mathbb {R} ^{n}}$,

$${\displaystyle P({\textbf {Z}}\in B)=\int _{B}h({\textbf {x}})\operatorname {d} {\textbf {x}},}$$

тоді ${\displaystyle h}$ — щільність ${\textbf {Z}}$.

${\textstyle \blacksquare }$

Див. також

• Випадкова величина
• Багатовимірна випадкова величина
• Щільність випадкової величини
• Багатократний інтеграл
• Якобіан
• Обернена функція
• Абсолютно неперервна випадкова величина

Зовнішні посилання

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Random variable, Математична енциклопедія, , ISBN 
• Zukerman, Moshe (2014), Introduction to Queueing Theory and Stochastic Teletraffic Models (PDF), arXiv:1307.2968
• Zukerman, Moshe (2014), Basic Probability Topics (PDF)

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Gut, Allan (2005). Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag. ISBN .

1. Springer.