Функція Гайсера–Гіласа

Функція Гайсера–Гіласа — широко вживана у фізиці астрочастинок формула, яка наближено описує розподіл кількості частинок космічних променів вздовж напрямку руху атмосферної зливи. Функцію запропонували в 1977 році ^[ru] і ^[d].

Кількість частинок ${\displaystyle N(X)}$ як функція пройденої глибини атмосфери ${\displaystyle X}$ виражається формулою

${\displaystyle N(X)=N_{\text{max}}\left({\frac {X-X_{0}}{X_{\text{max}}-X_{0}}}\right)^{\frac {X_{\text{max}}-X_{0}}{\lambda }}\exp \left({\frac {X_{\text{max}}-X}{\lambda }}\right),}$

де ${\displaystyle N_{\text{max}}}$ максимальна кількість частинок, що спостерігаються на глибині ${\displaystyle X_{\text{max}}}$, і ${\displaystyle X_{0}}$ і ${\displaystyle \lambda }$ є основними параметрами, що залежать від маси та енергії.

З використанням замін

${\displaystyle n={\frac {N}{N_{\text{max}}}}}$ ,     ${\displaystyle x={\frac {X-X_{0}}{\lambda }}}$     і     ${\displaystyle m={\frac {X_{\text{max}}-X_{0}}{\lambda }}}$,

функція може бути записана в альтернативній однопараметричній формі

${\displaystyle n(x)=\left({\frac {x}{m}}\right)^{m}\exp(m-x)={\frac {x^{m}\,e^{-x}}{m^{m}\,e^{-m}}}=\exp \left(m\,(\ln x-\ln m)-(x-m)\right)\,.}$

Примітки

1. Hillas, A. M. (1972). Cosmic rays. New York: ^[en]. ISBN .
2. Darko Veberic (2012). Lambert W Function for Applications in Physics. Computer Physics Communications. 183 (12): 2622—2628. arXiv:1209.0735. Bibcode:2012CoPhC.183.2622V. doi:10.1016/j.cpc.2012.07.008.

Література

Gaisser, T.K.; Hillas, A.M. (1977). Reliability of the method of constant intensity cuts for reconstructing the average development of vertical showers. Proc. of 15th Int. Cosmic Ray Conf., 13–26 Aug 1977. Т. 8. Plovdiv, Bulgaria. с. 353. Bibcode:1977ICRC....8..353G.