Ця стаття містить правописні, лексичні, граматичні, стилістичні або інші мовні помилки, які треба виправити. |
Франк Харарі (11 березня 1921 — 4 січня 2005) — американський математик, який спеціалізується на теорії графів. Він був широко визнаний одним із «батьків» сучасної теорії графів. Харарі був майстром чіткого викладу, і, разом зі своїми численними докторантами, він стандартизував термінологію графів. Він розширював межі цієї галузі включаючи фізику, психологію, соціологію, і навіть антропологію. Обдарований, з тонким почуттям гумору, Харарі ставив під сумнів і розважав глядачів усіма можливими рівнями математичних суджень. Особливий трюк він використовував в тому, щоб обернути теореми в ігри — наприклад, студенти намагаються додати червоні ребра до графу, щоб створити червоний трикутник, в той час як інша група студентів намагалися додати ребра, щоб створити синій трикутник (і кожне ребро графу повинно було бути або синім або червоним). Завдяки теоремі про друзів і незнайомців, одна з команд вигравала.
Біографія
Франк Харарі народився в Нью-Йорку, в родині єврейських іммігрантів із Сирії та Марокко. Отримав ступінь бакалавра і магістра у Бруклінському коледжі в 1941 і 1945 році відповідно, а також ступінь доктора філософії під керівництвом [en] з Каліфорнійського університету у Берклі.
До початку своєї викладацької діяльності, був науковим асистентом в Інституті соціальних досліджень при Мічиганському університеті.
Перша публікація Харарі, «Атомні булеподібні кільця з кінцевим радикалом», потребувала багатьох зусиль, щоб потрапити у [en]. В 1950 р. Стаття була вперше представлена Американському математичному суспільству в листопаді 1948 року, і врешті відіслана до Математичного Журналу, де вона була переглянута тричі, перш ніж бути опублікованою через два роки після її первісної появи. Харарі розпочав свою викладацьку діяльність в Університеті штату Мічиган в 1953 році, де він був помічником професора, в 1959 році доцентом, а в 1964 році був призначений професором математики, обіймаючи посаду до 1986 року.
З 1987 року був професором (і заслуженим професором у відставці) в департаменті комп'ютерних наук в державному університеті Нью-Мехіко у Лас-Крузес. Він був одним із засновників [en] і [en].
У 1949 Харари опублікував статтю про алгебраїчну структуру вузлів. Незабаром після цієї публікації, в 1953 році Харарі опублікував свою першу книгу (спільно з Джорджем Уленбеком) про кількість дерев Хусімі. Після цього Харарі заробив собі світову репутацію завдяки своїм працям з теорії графів. У 1965 році його перша книга «Структурна модель: вступ до теорії орієнтованих графів» була опублікована і до кінця життя Харарі теорія графів була полем його досліджень.
Спочатку його праці у теорії графів, близько 1965, Харарі почав купляти власність в Енн-Арборі для збільшення доходів сім'ї.
Харарі з дружиною мали шістьох дітей, Міріам, Наталі, Джудіт, Томас, Джоель та Чоя. У 1969 році у журналі «The Michigan Daily» була надрукована статья, де обговорювалося питання оренди власності сім'єю Харарі.
У період з 1973 по 2007 Харарі написав 5 спільних книг з теорії графів. У кінці життя він багато подорожував та публікував статті у математичних журналах та інших наукових виданнях. Харарі записав свої лекції у 166 різних містах у Сполучених Штатах та 274 містах 80 країн світу. Харарі особливо пишався тим, що він виступав з лекціями в містах по всьому світу, серед назв яких, можна знайти кожну букву алфавіту, включаючи навіть «Х», коли він відправився в Ксантен, Німеччина. Харарі також зіграв роль у фільмі «Добра Воля». У фільмі показані формули які він опублікував.
У віці 65 років Харарі пішов з Університеті штату Мічиган. Після свого виходу на пенсію Харарі був призначений заслуженим професором комп'ютерних наук державного університету в Лас-Крусес. Він займав цю посаду до своєї смерті. В 2005 році, в рік виходу на пенсію Харарі був почесним членом Національної академії наук Індії, він також служив редактором близько 20 різних журналів присвячених, в першу чергу, теорії графів і комбінаторній теорії. Харарі був обраний почесним довічним членом Калькуттського і Південноафриканського математичних товариств.
Він помер в Лас-Крусес, Нью-Мехіко. Після його смерті в Лас-Крусес інші члени кафедри комп'ютерних наук відчули цю неймовірну втрату великого розуму, що колись працював поруч з ними. Керівник відділу обчислювальної техніки Деш Ранджан сказав: «Доктор Харарі був справжнім вченим зі справжньою любов'ю до теорії графів, що була нескінченним джерелом нових відкриттів, краси, цікавості, сюрпризів і радощів для нього до самого кінця його життя».
Математика
Робота Харарі з теорією графів була різноманітною. Деякі теми для нього були дуже цікавими:
- Перерахування графів підрахунок графів певного виду. Він співавтор книги на цю тему (Харари і Палмер 1973). Основна складність полягає в тому, що два ізоморфні графи не повинні враховуватися двічі;
- [en] Харарі винайшов цю гілку теорії графів, які виросли з проблеми теоретичної соціальної психології, що досліджувалась психологом і Харарі.
- Теорія графів застосовується в різних галузях, особливо в галузі соціальних наук, таких, як теорія рівноваги і теорія турніру . Харарі був співавтором першої електронної книги Джона Вілея з теорії графів і географії.
Серед більш ніж 700 наукових статей написаних Харарі, дві були в співавторстві з Полом Ердосом, що дало Харарі число Ердеша.Найвідоміша класична книга Харари «Теорія графів» була опублікована в 1969 році і пропонувала практичне запровадження в галузі теорії графів. Очевидно, що фокус Харарі в цій книзі, і в інших його публікацій був закцентований на різноманітному застосуванні теорії графів в інших галузях математики, фізики та багатьох інших. Взято з передмови до «Теорії графів», де Харарі відзначає «… є застосування теорії графів в деяких галузях фізики, хімії, зв'язку, комп'ютерної техніки, електротехніки та цивільного будівництва, архітектури, оперативних дослідженнях, генетики, психології, соціології, економіки, антропології і лінгвістики».
Харарі зробив унікальний внесок в теорію графів, досліджуючи все більше і більше різних галузей і намагаючись пов'язати їх з теорією графів. Книга Харарі «Теорія графів» починається з надання читачу більшої частини необхідних знань з теорії графів, а потім вражає різноманітністю змісту теорії. Деякі з інших математичних галузей, Харарі безпосередньо пов'язує з теорією графів у своїй книзі (глава 13), ці теми включають в себе лінійну алгебру і абстрактну алгебру.
Квадратичне дерево
Однією з причин вивчення теорії графів було застосування їх до [en], описаних Якобом Л. Морено. Наприклад, матриця суміжності в соціограммі була використана Леоном Фестінґером. Фестінґер ідентифікував теорію графів із соціальної клікою і досліджував діагональ куба матриці суміжності груп для виявлення кліків. Харарі разом з Аяном Россом об'єдналися, чим сприяли виявленню кліка Фестінґера. Визнання повноважень матриці суміжності привели Харарі і Росса до того, що повний граф може бути отриманий з квадрата з матрицею суміжності дерева. Спираючись на вивченні виявлення клік, вони описали клас графів, для яких матриця суміжності є квадратом матриці суміжності дерева.
- Якщо граф G є квадратом дерева, то вона має унікальний квадратний корінь дерева.
- Щоб зрозуміти використовувані методи і докази, необхідно мати на увазі специфічну термінологію.
- Як визначити, чи є якийсь граф G квадратом дерева.
Якщо граф G є повним або задовольняє наступним п'ятьом властивостям, тоді G = T2 (і). Кожна точка G є сусідньою і зв'язною. (||) Якщо два кліки зустрічаються тільки в одній точці b, тобто третя кліка, з якими вони поділяють b і одну іншу точку. (III) Існує відповідність 1:1 між кліками та мультиклікальними точками b з G таким чином, що верхівка С (b), відповідно до b містить рівно стільки мультиклікальних точок, як і число клік, які включають b. (IV) Ніякі дві кліки не перетинаються в більш ніж у двох точках. (V) Число пар кліків, які зустрічаються в двох точках на одиницю менше, ніж число кліків.
- Алгоритм знаходження квадратного кореня дерева графу G.
Крок 1: Знайти всі кліки G. Крок 2: Нехай кліки G є C1,…,Cn, і розглянемо набір мультиклікальних точок b1,…,bn, відповідні цим клікам до умови III. Елементи цього ряду є неточними точками Т. Знайти всі попарні перетини n кліків і утворіть граф S шляхом приєднання точки bi і bj лінією, тоді і тільки тоді, коли відповідні кліки Ci і Cj перетинаються в двох точках, S є деревом за умовою Крок 3 :. Для кожного кліка Ci з G, нехай ni — число одноточкових точок. Для дерева S, отриманого на стадії 2, додайте ni кінцевих точок до bi, отримаємо дерево T. Після того, як ми отримаємо дерево, ми можемо створити матрицю суміжності для дерева Т і перевірити, що це дійсно те дерево, яке ми шукали. Квадрат матриці суміжності T повинен давати матрицю суміжності для графу, що є ізоморфним графу G, з якого ми почали. Напевно, найпростіший спосіб спостерігати цю теорему в дії — спостерігати випадок, який Харари згадує у «Квадраті дерева» зокрема, приклад описує дерево, відповідне графу K5 «Розглянемо дерево, що складається з однієї точки, з'єднаної з усіма іншими. Коли дерево квадратичне, то результатом буде повний граф. Ми хочемо проілюструвати T2K5» . Після зведення в квадрат матриці суміжності раніше згаданого дерева, ми можемо помітити, що ця теорема фактично виконується. Ми можемо також відзначити, що ця модель створення дерева, де «одна точка з'єднана з усіма іншими», завжди дає правильне дерево для всіх повних графів.
Бібліографія
- 1965: (with Robert Z. Norman and Dorwin Cartwright), Structural Models: An Introduction to the Theory of Directed Graphs. New York: Wiley MR0184874
- 1967: Graph Theory and Theoretical Physics, Academic Press MR0232694
- 1969: Graph Theory, Addison–Wesley MR0256911
- 1971: (editor with Herbert Wilf) Mathematical Aspects of Electrical Networks Analysis, SIAM-AMS Proceedings, Volume 3,American Mathematical Society MR0329788
- 1973: (editor) New Directions in the Theory of Graphs: Proceedings of the 1971 Ann Arbor Conference on Graph Theory, University of Michigan, Academic Press.MR0340065
- 1973: (with Edgar M. Palmer) Graphical Enumeration Academic Press MR0357214
- 1979: (editor) Topics in Graph Theory, New York Academy of Sciences MR557879
- 1984: (with Per Hage) Structural Models in Anthropology, Cambridge Studies in Social and Cultural Anthropology, Cambridge University Press MR0738630
- 1990: (with Fred Buckley) Distance in Graphs, Perseus Press MR1045632
- 1991: (with Per Hage) Exchange in Oceania: A Graph Theoretic Analysis, Oxford Studies in Social and Cultural Anthropology, Oxford University Press.
- 2002: (with Sandra Lach Arlinghaus & William C. Arlinghaus) Graph Theory and Geography: An Interactive E-Book, John Wiley and Sons MR1936840
- 2007: (with Per Hage) Island Networks: Communication, Kinship, and Classification Structures in Oceania (Structural Analysis in the Social Sciences), Cambridge University Press.
Див. також
Посилання
- Frank Harary, a biographical sketch at the ACM site
- Frank Harary 1921—2005 — Columbia University [ 5 листопада 2013 у Wayback Machine.]
- «The quixotic adventure of Frank Harary or how land speculation or city hall's neglect have contributed to Ann Arbor's low-income housing shortage», April 17, 1969, page 5
- Queena N. Lee-Chua (October 13, 2001) The Father of Modern Graph Theory, , link from Google News
- Alba, Diana M. (7 січня 2005). Late NMSU prof had noted career. Las Cruces Sun-News. с. 1A.
- Harary, Frank (1955), Transactions of the American Mathematical Society, 78, doi:10.1090/S0002-9947-1955-0068198-2, MR 0068198
{{}}
: Пропущений або порожній|title=
(). - Harary, F. (1953-54) «On the notion of balance of a signed graph», 2: 143—146 and addendum preceding p. 1.
- F. Harary (1955) On local balance and N-balance in signed graphs, Michigan Mathematical Journal 3: 37 to 41 link from Project Euclid
- Cartwright, D. and Harary, F. (1956)Structural balance: a generalization of Heider's theory, 63: 277—293 link from Stanford University
- Harary, Frank; (1966), The theory of round robin tournaments, American Mathematical Monthly, 73 (3): 231—246, doi:10.2307/2315334, JSTOR 2315334
- Frank Harary (1969) Graph Theory, Addison–Wesley
- Festinger, L. (1949) «The analysis of sociograms using matrix algebra», Human Relations 2: 152–8
- F. Harary & Ian Ross (1957) «A procedure for clique detection using the group matrix», Sociometry 20: 205–15 MR0110590
- F. Harary & Ian Ross (1960)) The square of a tree, 39(3):641 to 47 MR0115937
Примітки
- Френк Харарі(англ.) в проєкті «Математична генеалогія».
- Frank Harary memorial from
- Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Френк Харарі в архіві MacTutor (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Cya stattya mistit pravopisni leksichni gramatichni stilistichni abo inshi movni pomilki yaki treba vipraviti Vi mozhete dopomogti vdoskonaliti cyu stattyu pogodivshi yiyi iz chinnimi movnimi standartami Frank Harari 11 bereznya 1921 4 sichnya 2005 amerikanskij matematik yakij specializuyetsya na teoriyi grafiv Vin buv shiroko viznanij odnim iz batkiv suchasnoyi teoriyi grafiv Harari buv majstrom chitkogo vikladu i razom zi svoyimi chislennimi doktorantami vin standartizuvav terminologiyu grafiv Vin rozshiryuvav mezhi ciyeyi galuzi vklyuchayuchi fiziku psihologiyu sociologiyu i navit antropologiyu Obdarovanij z tonkim pochuttyam gumoru Harari staviv pid sumniv i rozvazhav glyadachiv usima mozhlivimi rivnyami matematichnih sudzhen Osoblivij tryuk vin vikoristovuvav v tomu shob obernuti teoremi v igri napriklad studenti namagayutsya dodati chervoni rebra do grafu shob stvoriti chervonij trikutnik v toj chas yak insha grupa studentiv namagalisya dodati rebra shob stvoriti sinij trikutnik i kozhne rebro grafu povinno bulo buti abo sinim abo chervonim Zavdyaki teoremi pro druziv i neznajomciv odna z komand vigravala Frank Harari zliva i en v ObervolfahBiografiyaFrank Harari narodivsya v Nyu Jorku v rodini yevrejskih immigrantiv iz Siriyi ta Marokko Otrimav stupin bakalavra i magistra u Bruklinskomu koledzhi v 1941 i 1945 roci vidpovidno a takozh stupin doktora filosofiyi pid kerivnictvom en z Kalifornijskogo universitetu u Berkli Do pochatku svoyeyi vikladackoyi diyalnosti buv naukovim asistentom v Instituti socialnih doslidzhen pri Michiganskomu universiteti Persha publikaciya Harari Atomni bulepodibni kilcya z kincevim radikalom potrebuvala bagatoh zusil shob potrapiti u en V 1950 r Stattya bula vpershe predstavlena Amerikanskomu matematichnomu suspilstvu v listopadi 1948 roku i vreshti vidislana do Matematichnogo Zhurnalu de vona bula pereglyanuta trichi persh nizh buti opublikovanoyu cherez dva roki pislya yiyi pervisnoyi poyavi Harari rozpochav svoyu vikladacku diyalnist v Universiteti shtatu Michigan v 1953 roci de vin buv pomichnikom profesora v 1959 roci docentom a v 1964 roci buv priznachenij profesorom matematiki obijmayuchi posadu do 1986 roku Z 1987 roku buv profesorom i zasluzhenim profesorom u vidstavci v departamenti komp yuternih nauk v derzhavnomu universiteti Nyu Mehiko u Las Kruzes Vin buv odnim iz zasnovnikiv en i en U 1949 Harari opublikuvav stattyu pro algebrayichnu strukturu vuzliv Nezabarom pislya ciyeyi publikaciyi v 1953 roci Harari opublikuvav svoyu pershu knigu spilno z Dzhordzhem Ulenbekom pro kilkist derev Husimi Pislya cogo Harari zarobiv sobi svitovu reputaciyu zavdyaki svoyim pracyam z teoriyi grafiv U 1965 roci jogo persha kniga Strukturna model vstup do teoriyi oriyentovanih grafiv bula opublikovana i do kincya zhittya Harari teoriya grafiv bula polem jogo doslidzhen Spochatku jogo praci u teoriyi grafiv blizko 1965 Harari pochav kuplyati vlasnist v Enn Arbori dlya zbilshennya dohodiv sim yi Harari z druzhinoyu mali shistoh ditej Miriam Natali Dzhudit Tomas Dzhoel ta Choya U 1969 roci u zhurnali The Michigan Daily bula nadrukovana statya de obgovoryuvalosya pitannya orendi vlasnosti sim yeyu Harari U period z 1973 po 2007 Harari napisav 5 spilnih knig z teoriyi grafiv U kinci zhittya vin bagato podorozhuvav ta publikuvav statti u matematichnih zhurnalah ta inshih naukovih vidannyah Harari zapisav svoyi lekciyi u 166 riznih mistah u Spoluchenih Shtatah ta 274 mistah 80 krayin svitu Harari osoblivo pishavsya tim sho vin vistupav z lekciyami v mistah po vsomu svitu sered nazv yakih mozhna znajti kozhnu bukvu alfavitu vklyuchayuchi navit H koli vin vidpravivsya v Ksanten Nimechchina Harari takozh zigrav rol u filmi Dobra Volya U filmi pokazani formuli yaki vin opublikuvav U vici 65 rokiv Harari pishov z Universiteti shtatu Michigan Pislya svogo vihodu na pensiyu Harari buv priznachenij zasluzhenim profesorom komp yuternih nauk derzhavnogo universitetu v Las Kruses Vin zajmav cyu posadu do svoyeyi smerti V 2005 roci v rik vihodu na pensiyu Harari buv pochesnim chlenom Nacionalnoyi akademiyi nauk Indiyi vin takozh sluzhiv redaktorom blizko 20 riznih zhurnaliv prisvyachenih v pershu chergu teoriyi grafiv i kombinatornij teoriyi Harari buv obranij pochesnim dovichnim chlenom Kalkuttskogo i Pivdennoafrikanskogo matematichnih tovaristv Vin pomer v Las Kruses Nyu Mehiko Pislya jogo smerti v Las Kruses inshi chleni kafedri komp yuternih nauk vidchuli cyu nejmovirnu vtratu velikogo rozumu sho kolis pracyuvav poruch z nimi Kerivnik viddilu obchislyuvalnoyi tehniki Desh Randzhan skazav Doktor Harari buv spravzhnim vchenim zi spravzhnoyu lyubov yu do teoriyi grafiv sho bula neskinchennim dzherelom novih vidkrittiv krasi cikavosti syurpriziv i radoshiv dlya nogo do samogo kincya jogo zhittya MatematikaRobota Harari z teoriyeyu grafiv bula riznomanitnoyu Deyaki temi dlya nogo buli duzhe cikavimi Pererahuvannya grafiv pidrahunok grafiv pevnogo vidu Vin spivavtor knigi na cyu temu Harari i Palmer 1973 Osnovna skladnist polyagaye v tomu sho dva izomorfni grafi ne povinni vrahovuvatisya dvichi en Harari vinajshov cyu gilku teoriyi grafiv yaki virosli z problemi teoretichnoyi socialnoyi psihologiyi sho doslidzhuvalas psihologom i Harari Teoriya grafiv zastosovuyetsya v riznih galuzyah osoblivo v galuzi socialnih nauk takih yak teoriya rivnovagi i teoriya turniru Harari buv spivavtorom pershoyi elektronnoyi knigi Dzhona Vileya z teoriyi grafiv i geografiyi Sered bilsh nizh 700 naukovih statej napisanih Harari dvi buli v spivavtorstvi z Polom Erdosom sho dalo Harari chislo Erdesha Najvidomisha klasichna kniga Harari Teoriya grafiv bula opublikovana v 1969 roci i proponuvala praktichne zaprovadzhennya v galuzi teoriyi grafiv Ochevidno sho fokus Harari v cij knizi i v inshih jogo publikacij buv zakcentovanij na riznomanitnomu zastosuvanni teoriyi grafiv v inshih galuzyah matematiki fiziki ta bagatoh inshih Vzyato z peredmovi do Teoriyi grafiv de Harari vidznachaye ye zastosuvannya teoriyi grafiv v deyakih galuzyah fiziki himiyi zv yazku komp yuternoyi tehniki elektrotehniki ta civilnogo budivnictva arhitekturi operativnih doslidzhennyah genetiki psihologiyi sociologiyi ekonomiki antropologiyi i lingvistiki Harari zrobiv unikalnij vnesok v teoriyu grafiv doslidzhuyuchi vse bilshe i bilshe riznih galuzej i namagayuchis pov yazati yih z teoriyeyu grafiv Kniga Harari Teoriya grafiv pochinayetsya z nadannya chitachu bilshoyi chastini neobhidnih znan z teoriyi grafiv a potim vrazhaye riznomanitnistyu zmistu teoriyi Deyaki z inshih matematichnih galuzej Harari bezposeredno pov yazuye z teoriyeyu grafiv u svoyij knizi glava 13 ci temi vklyuchayut v sebe linijnu algebru i abstraktnu algebru Kvadratichne derevoOdniyeyu z prichin vivchennya teoriyi grafiv bulo zastosuvannya yih do en opisanih Yakobom L Moreno Napriklad matricya sumizhnosti v sociogrammi bula vikoristana Leonom Festingerom Festinger identifikuvav teoriyu grafiv iz socialnoyi klikoyu i doslidzhuvav diagonal kuba matrici sumizhnosti grup dlya viyavlennya klikiv Harari razom z Ayanom Rossom ob yednalisya chim spriyali viyavlennyu klika Festingera Viznannya povnovazhen matrici sumizhnosti priveli Harari i Rossa do togo sho povnij graf mozhe buti otrimanij z kvadrata z matriceyu sumizhnosti dereva Spirayuchis na vivchenni viyavlennya klik voni opisali klas grafiv dlya yakih matricya sumizhnosti ye kvadratom matrici sumizhnosti dereva Yaksho graf G ye kvadratom dereva to vona maye unikalnij kvadratnij korin dereva Shob zrozumiti vikoristovuvani metodi i dokazi neobhidno mati na uvazi specifichnu terminologiyu Yak viznachiti chi ye yakijs graf G kvadratom dereva Yaksho graf G ye povnim abo zadovolnyaye nastupnim p yatom vlastivostyam todi G T2 i Kozhna tochka G ye susidnoyu i zv yaznoyu Yaksho dva kliki zustrichayutsya tilki v odnij tochci b tobto tretya klika z yakimi voni podilyayut b i odnu inshu tochku III Isnuye vidpovidnist 1 1 mizh klikami ta multiklikalnimi tochkami b z G takim chinom sho verhivka S b vidpovidno do b mistit rivno stilki multiklikalnih tochok yak i chislo klik yaki vklyuchayut b IV Niyaki dvi kliki ne peretinayutsya v bilsh nizh u dvoh tochkah V Chislo par klikiv yaki zustrichayutsya v dvoh tochkah na odinicyu menshe nizh chislo klikiv Algoritm znahodzhennya kvadratnogo korenya dereva grafu G Krok 1 Znajti vsi kliki G Krok 2 Nehaj kliki G ye C1 Cn i rozglyanemo nabir multiklikalnih tochok b1 bn vidpovidni cim klikam do umovi III Elementi cogo ryadu ye netochnimi tochkami T Znajti vsi poparni peretini n klikiv i utvorit graf S shlyahom priyednannya tochki bi i bj liniyeyu todi i tilki todi koli vidpovidni kliki Ci i Cj peretinayutsya v dvoh tochkah S ye derevom za umovoyu Krok 3 Dlya kozhnogo klika Ci z G nehaj ni chislo odnotochkovih tochok Dlya dereva S otrimanogo na stadiyi 2 dodajte ni kincevih tochok do bi otrimayemo derevo T Pislya togo yak mi otrimayemo derevo mi mozhemo stvoriti matricyu sumizhnosti dlya dereva T i pereviriti sho ce dijsno te derevo yake mi shukali Kvadrat matrici sumizhnosti T povinen davati matricyu sumizhnosti dlya grafu sho ye izomorfnim grafu G z yakogo mi pochali Napevno najprostishij sposib sposterigati cyu teoremu v diyi sposterigati vipadok yakij Harari zgaduye u Kvadrati dereva zokrema priklad opisuye derevo vidpovidne grafu K5 Rozglyanemo derevo sho skladayetsya z odniyeyi tochki z yednanoyi z usima inshimi Koli derevo kvadratichne to rezultatom bude povnij graf Mi hochemo proilyustruvati T2 displaystyle K5 Pislya zvedennya v kvadrat matrici sumizhnosti ranishe zgadanogo dereva mi mozhemo pomititi sho cya teorema faktichno vikonuyetsya Mi mozhemo takozh vidznachiti sho cya model stvorennya dereva de odna tochka z yednana z usima inshimi zavzhdi daye pravilne derevo dlya vsih povnih grafiv Bibliografiya1965 with Robert Z Norman and Dorwin Cartwright Structural Models An Introduction to the Theory of Directed Graphs New York Wiley MR0184874 1967 Graph Theory and Theoretical Physics Academic Press MR0232694 1969 Graph Theory Addison Wesley MR0256911 1971 editor with Herbert Wilf Mathematical Aspects of Electrical Networks Analysis SIAM AMS Proceedings Volume 3 American Mathematical Society MR0329788 1973 editor New Directions in the Theory of Graphs Proceedings of the 1971 Ann Arbor Conference on Graph Theory University of Michigan Academic Press MR0340065 1973 with Edgar M Palmer Graphical Enumeration Academic Press MR0357214 1979 editor Topics in Graph Theory New York Academy of Sciences MR557879 1984 with Per Hage Structural Models in Anthropology Cambridge Studies in Social and Cultural Anthropology Cambridge University Press MR0738630 1990 with Fred Buckley Distance in Graphs Perseus Press MR1045632 1991 with Per Hage Exchange in Oceania A Graph Theoretic Analysis Oxford Studies in Social and Cultural Anthropology Oxford University Press 2002 with Sandra Lach Arlinghaus amp William C Arlinghaus Graph Theory and Geography An Interactive E Book John Wiley and Sons MR1936840 2007 with Per Hage Island Networks Communication Kinship and Classification Structures in Oceania Structural Analysis in the Social Sciences Cambridge University Press Div takozhGraf Goldnera Harari en PosilannyaFrank Harary a biographical sketch at the ACM site Frank Harary 1921 2005 Columbia University 5 listopada 2013 u Wayback Machine The quixotic adventure of Frank Harary or how land speculation or city hall s neglect have contributed to Ann Arbor s low income housing shortage April 17 1969 page 5 Queena N Lee Chua October 13 2001 The Father of Modern Graph Theory link from Google News Alba Diana M 7 sichnya 2005 Late NMSU prof had noted career Las Cruces Sun News s 1A Harary Frank 1955 Transactions of the American Mathematical Society 78 doi 10 1090 S0002 9947 1955 0068198 2 MR 0068198 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Citation title Shablon Citation citation a Propushenij abo porozhnij title dovidka Harary F 1953 54 On the notion of balance of a signed graph 2 143 146 and addendum preceding p 1 F Harary 1955 On local balance and N balance in signed graphs Michigan Mathematical Journal 3 37 to 41 link from Project Euclid Cartwright D and Harary F 1956 Structural balance a generalization of Heider s theory 63 277 293 link from Stanford University Harary Frank 1966 The theory of round robin tournaments American Mathematical Monthly 73 3 231 246 doi 10 2307 2315334 JSTOR 2315334 Frank Harary 1969 Graph Theory Addison Wesley Festinger L 1949 The analysis of sociograms using matrix algebra Human Relations 2 152 8 F Harary amp Ian Ross 1957 A procedure for clique detection using the group matrix Sociometry 20 205 15 MR0110590 F Harary amp Ian Ross 1960 The square of a tree 39 3 641 to 47 MR0115937PrimitkiFrenk Harari angl v proyekti Matematichna genealogiya Frank Harary memorial from Dzhon Dzh O Konnor ta Edmund F Robertson Frenk Harari v arhivi MacTutor angl