Формула добутку корангів

Формула добутку корангів — математична формула, що виражає корозмірність множини точок, в яких ядро похідної відображення має задану розмірність, у вигляді добутку корангів даного відображення в прообразі і образі.

Формулювання

Корангом лінійного відображення ${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ в прообразі (в образі) називається число ${\displaystyle m-r}$ (відповідно, ${\displaystyle n-r}$), де ${\displaystyle r}$ — ранг відображення ${\displaystyle A}$. Коранги пов'язані з розмірністю ядра ${\displaystyle A}$ (позначимо її ${\displaystyle i}$) формулами: ${\displaystyle m-r=i}$ і ${\displaystyle n-r=n-m+i}$.

Нехай ${\displaystyle f:M^{m}\to N^{n}}$ — гладке відображення гладких многовидів ${\displaystyle M^{m}}$ і ${\displaystyle N^{n}}$ розмірностей ${\displaystyle m}$ і ${\displaystyle n}$, відповідно. Символом ${\displaystyle f_{*x}}$ позначається його похідна в точці ${\displaystyle x\in M^{m}}$, тобто лінійне відображення дотичних просторів ${\displaystyle f_{*x}:T_{x}M^{m}\to T_{f(x)}N^{n}}$.

Точка ${\displaystyle x\in M^{m}}$ належить множині ${\displaystyle \Sigma ^{i},}$ ${\displaystyle i\geq 0,}$ якщо розмірність ядра похідної ${\displaystyle f_{*x}}$ в цій точці дорівнює ${\displaystyle i}$. Множини ${\displaystyle \Sigma ^{0},\ldots ,\Sigma ^{m}}$ явно покривають весь многовид ${\displaystyle M^{m}}$, однак, як правило, в цьому ланцюжку не всі множини є непорожніми (наприклад, якщо ${\displaystyle n>m}$ має місце нерівність ${\displaystyle r\leq n<m}$, з якої з урахуванням співвідношення ${\displaystyle m-r=i}$ випливає, що ${\displaystyle i>0}$, тобто множина ${\displaystyle \Sigma ^{0}}$ порожня).

Теорема. Для відображення ${\displaystyle f:M^{m}\to N^{n}}$ загального положення всі множини ${\displaystyle \Sigma ^{i}}$ є гладкими підмноговидами в ${\displaystyle M^{m}}$. При цьому має місце співвідношення ${\displaystyle m-\dim \,\Sigma ^{i}=(m-r)(n-r),}$ де ${\displaystyle r=m-i}$ — ранг відображення ${\displaystyle f_{*x},}$ що називають формулою добутку корангів.

Обчислене за цією формулою значення ${\displaystyle \dim \Sigma ^{i}}$ може бути від'ємним. Це означає, що відповідна множина ${\displaystyle \Sigma ^{i}}$ порожня.

Наслідок. У просторі матриць типу ${\displaystyle (m,n)}$ множина матриць рангу ${\displaystyle r}$ утворює гладкий многовид корозмірності ${\displaystyle (m-r)(n-r)}$.

Література

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Будь-яке видання.