Формула Ейнштейна

Ця стаття включає опис терміну «E=mc²»; див. також інші значення.

4-метрова скульптура формули Альберта Ейнштейна в Берліні, Німеччина

Формула на хмарочосі Тайпей 101 під час одного із заходів Всесвітнього року фізики (2005)

Еквівале́нтність ма́си та ене́ргії — фізична концепція в рамках теорії відносності, згідно з якою енергія фізичного об'єкта (фізичної системи) дорівнює його (її) масі, помноженій на квадрат швидкости світла у вакуумі:

${\displaystyle \ E=mc^{2},}$

де ${\displaystyle E}$ — енергія об'єкта, ${\displaystyle m}$ — його маса, ${\displaystyle c}$ — швидкість світла у вакуумі, що дорівнює 299 792 458 м/с.

Залежно від того, що розуміють під термінами «маса» та «енергія», дану концепцію може бути інтерпретовано двозначно:

• З одного боку, концепція означає, що маса тіла (так звана маса спокою) дорівнює (з точністю до множника ${\displaystyle \ c^{2}}$) енергії, укладеної в ньому, (так званої енергії спокою, тобто в широкому сенсі внутрішньої енергії цього тіла),

${\displaystyle E_{0}=mc^{2},}$

де ${\displaystyle E_{0}}$ — енергія спокою тіла, ${\displaystyle m}$ — його інваріантна маса;

• З іншого боку, можна стверджувати, що будь-якого виду енергії (не обов'язково внутрішньої) фізичного об'єкта (не обов'язково тіла) відповідає певна маса; наприклад, було введено поняття релятивістської маси, що дорівнює (з точністю до множника ${\displaystyle \ c^{2}}$) повній (включаючи кінетичну) енергії рухомого об'єкту,

${\displaystyle \ E=m_{rel}c^{2},}$

де ${\displaystyle E}$ — повна енергія об'єкта, ${\displaystyle m_{rel}}$ — його релятивістська маса.

Перша інтерпретація не є окремим випадком другої, тому що, хоча енергія спокою є окремим випадком енергії, інваріантна маса не є окремим випадком релятивістської, це дві різні фізичні величини.

У сучасній теоретичній фізиці концепцію еквівалентності маси і енергії зазвичай використовується в першому сенсі. Головною причиною, чому приписування маси будь-якого виду енергії вважається невдалим, є наступна з цього повна синонімічність понять маси і енергії. Крім того, неакуратне використання такого принципу може заплутувати і в кінцевому підсумку не є виправданим. Таким чином, у даний час термін «релятивістська маса» у професійній літературі практично не зустрічається, а коли йдеться про масу, мається на увазі інваріантна маса. У той же час термін «релятивістська маса» використовується для якісних міркувань у прикладних питаннях, а також в освітньому процесі та в науково-популярній літературі. При цьому під цим терміном розуміється збільшення інертних властивостей рухомого тіла.

У найуніверсальнішій формі принцип був сформульований вперше Альбертом Ейнштейном у році, однак уявлення про зв'язок енергії та інертних властивостей тіла розвивалися і в більш ранніх роботах інших дослідників.

У сучасній культурі формула ${\displaystyle E=mc^{2}}$ є чи не найвідомішою з усіх фізичних формул, що обумовлюється її зв'язком з атомною зброєю. Крім того, саме ця формула є символом теорії відносності і широко використовується популяризаторами науки.

Енергія спокою

Історично поняття енергії спокою вперше було сформульовано при побудові спеціальної теорії відносності Альбертом Ейнштейном. Ним було показано, що для , що вільно рухається, а також вільного тіла і взагалі будь-якої замкнутої системи частинок, виконуються наступні співвідношення:

${\displaystyle \ E^{2}-{\vec {p}}^{\,2}c^{2}=m^{2}c^{4}\qquad {\vec {p}}={\frac {E{\vec {v}}}{c^{2}}},}$

де ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle {\vec {p}}}$, ${\displaystyle {\vec {v}}}$, ${\displaystyle m}$ — енергія, імпульс, швидкість і маса частинки відповідно, ${\displaystyle c}$ — швидкість світла у вакуумі. З цих виразів видно, що у релятивістській механіці, навіть коли швидкість і імпульс тіла дорівнюють нулю, його енергія у нуль не обертається, залишаючись рівною деякій величині, яка визначається масою тіла:

${\displaystyle E_{0}=mc^{2}.}$

Ця величина зветься енергія спокою. На підставі цього факту, Ейнштейном було зроблено висновок, що маса тіла є однією з форм енергії, і тим самим, що закони збереження маси і енергії поєднані одним законом збереження.

Енергія та імпульс тіла є компонентами 4-вектора енергії-імпульсу (4-імпульсу) (енергія — часовий, імпульс — просторові компоненти), і відповідним чином перетворюються при переході з однієї системи відліку в іншу, а маса тіла є , залишаючись при переході в інші системи відліку сталою, і маючи сенс модуля вектора чотирихімпульсу.

Слід також зазначити, що попри те, що енергія і імпульс частинок адитивні, тобто для системи часток маємо:

${\displaystyle \ E=\sum _{i}E_{i}\qquad {\vec {p}}=\sum _{i}{\vec {p}}_{i}}$

(1)

маса частинок адитивною не є. Тобто маса системи частинок, у загальному випадку, не дорівнює сумі мас часток, що її складають.

Таким чином, енергія (неінваріантна, адитивна, часова компонента чотириімпульсу) і маса (інваріантна, неадитивний модуль чотирихімпульсу), це дві різні фізичні величини.

4-імпульс дорівнює добутку інваріантної маси на 4-швидкість тіла.

${\displaystyle p^{\mu }=m\,U^{\mu }\!,}$

Це співвідношення слід вважати аналогом у спеціальній теорії відносності класичного визначення імпульсу через масу і швидкість.

Поняття релятивістської маси

Після того, як Ейнштейн запропонував принцип еквівалентності маси і енергії, стало очевидно, що поняття маси може інтерпретуватися неоднозначно. З одного боку, це інваріантна маса, яка фігурує у класичній фізиці, з іншого — можна ввести так звану релятивістську масу еквівалентну повній (включаючи кінетичну) енергії фізичного об'єкта:

${\displaystyle m_{\mathrm {rel} }={\frac {E}{c^{2}}},}$.

де ${\displaystyle m_{\mathrm {rel} }}$ — релятивістська маса, ${\displaystyle E}$ — повна енергія об'єкта.

Для масивного об'єкта (тіла) ці дві маси пов'язані між собою співвідношенням:

${\displaystyle m_{\mathrm {rel} }={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},}$

де ${\displaystyle m}$ — інваріантна («класична») маса, ${\displaystyle v}$ — швидкість тіла.

Енергія і релятивістська маса, це одна, і та ж, фізична величина (неінваріантна, адитивна, тимчасова компонента чотирьохімпульсу).

Еквівалентність релятивістської маси й енергії означає, що у всіх системах відліку, енергія фізичного об'єкта (з точністю до множника ${\displaystyle \!c^{2}}$) дорівнює його релятивістській масі.

Введена таким чином релятивістська маса є коєфіцієнтом пропорційності між тривимірним («класичним») імпульсом і швидкістю тіла:

${\displaystyle {\vec {p}}=m_{\mathrm {rel} }{\vec {v}}.}$

Аналогічне співвідношення виконується в класичній фізиці для інваріантної маси, що також наводиться як аргумент на користь введення поняття релятивістської маси. Це в подальшому призвело до тези, що маса тіла залежить від швидкості його руху.

У процесі створення теорії відносності обговорювалися поняття поздовжньої і поперечної маси масивної частинки (тіла). Нехай сила, що діє на тіло, дорівнює швидкості зміни релятивістського імпульсу. Тоді зв'язок сили ${\displaystyle {\vec {F}}}$ і прискорення ${\displaystyle {\vec {a}}=d{\vec {v}}/dt}$ істотно змінюється у порівнянні з класичною механікою:

${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\frac {m{\vec {a}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m{\vec {v}}\cdot ({\vec {v}}{\vec {a}})/c^{2}}{(1-v^{2}/c^{2})^{3/2}}}.}$

Якщо швидкість перпендикулярна силі, то ${\displaystyle {\vec {F}}=m\gamma {\vec {a}},}$ а якщо паралельна, то ${\displaystyle {\vec {F}}=m\gamma ^{3}{\vec {a}},}$ де ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ — релятивістський фактор. Тому ${\displaystyle m\gamma =m_{\mathrm {rel} }}$ називають поздовжньою масою, а ${\displaystyle m\gamma ^{3}}$ — поперечною

Твердження про те, що маса залежить від швидкості, увійшло у багато навчальні курсів і у силу своєї парадоксальності набуло широкої популярності серед неспеціалістів. Проте у сучасній фізиці уникають використовувати термін «релятивістська маса», використовуючи замість нього поняття енергії, а під терміном «маса» розуміючи інваріантну масу (масу спокою). Зокрема, виділяються такі недоліки введення терміна «релятивістська маса»:

• Неінваріантність релятивістської маси щодо перетворень Лоренца;
• Синонімічність понять енергія і релятивістська маса, і, як наслідок, надмірність введення нового терміну;
• Наявність різних за величиною поздовжньої і поперечної релятивістських мас і неможливість однакового запису аналога другого закону Ньютона у вигляді.

${\displaystyle m_{\mathrm {rel} }{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\vec {F}};}$

• Методологічні складності викладання спеціальної теорії відносності, наявність спеціальних правил, коли і як слід користуватися поняттям «релятивістська маса», щоб уникнути помилок;
• Плутанина у термінах «маса», «маса спокою» і «релятивістська маса»: частина джерел просто масою називають одне, частина — інше.

Незважаючи на зазначені недоліки, поняття релятивістської маси використовується і в навчальній, і в науковій літературі. Слід, зазначити, що у наукових статтях поняття релятивістської маси використовується здебільшого тільки при якісних міркуваннях як синонім збільшення інертності частинки, що рухається зі швидкістю, близькою до швидкості світла.

Гравітаційна взаємодія

У класичній фізиці гравітаційна взаємодія описується законом всесвітнього тяжіння Ньютона, і його величина визначається гравітаційною масою тіла, яка з високим ступенем точності дорівнює за величиною інертній масі, про яку йшла мова вище, що дозволяє говорити про просто масу тіла.

У релятивістській фізиці гравітація підпорядковується законам загальної теорії відносності, в основі якої лежить принцип еквівалентності, що полягає у невідмінності явищ, які відбуваються локально в гравітаційному полі, від аналогічних явищ в неінерційній системі відліку, що рухається з прискоренням, яке рівне прискоренню вільного падіння у гравітаційному полі. Можна показати, що даний принцип еквівалентний твердженням про рівність інертної і гравітаційної мас.

У загальній теорії відносності енергія відіграє ту ж роль, що і гравітаційна маса у класичній теорії. Величина гравітаційної взаємодії у цій теорії визначається так званим тензором енергії-імпульсу, що є узагальненням поняття енергії.

У простому випадку точкової частинки у центрально-симетричному гравітаційному полі об'єкта, маса якого багато більше маси частинки, сила, що діє на частинку, визначається виразом:

${\displaystyle {\vec {F}}=-GM{\frac {E}{c^{2}}}{\frac {(1+\beta ^{2}){\vec {r}}-({\vec {r}}{\vec {\beta }}){\vec {\beta }}}{r^{3}}}}$

де G — гравітаційна стала, M — маса важкого об'єкта, E — повна енергія частинки, ${\displaystyle \beta =v/c,}$ v — швидкість частинки, ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радіус-вектор, що проведено з центру важкого об'єкта у точку знаходження частинки. З цього виразу видно головну особливість гравітаційної взаємодії у релятивістському випадку у порівнянні з класичною фізикою: воно залежить не тільки від маси частинки, але й від величини та напрямку її швидкості. Остання обставина, зокрема, не дозволяє ввести однозначним чином якусь ефективну гравітаційну релятивістську масу, яка б зводила закон тяжіння до класичного виду.

Граничний випадок безмасової частки

Важливим граничним випадком є випадок частки, маса якої дорівнює нулю. Прикладом такої частки є фотон — частка-носій електромагнітної взаємодії. З наведених вище формул випливає, що для такої частки справедливі наступні співвідношення:

${\displaystyle E=pc,\qquad v=c.}$

Таким чином, частка з нульовою масою незалежно від своєї енергії завжди рухається зі швидкістю світла. Для безмасових часток введення поняття «релятивістської маси» в особливій мірі не має сенсу, оскільки, наприклад, при наявності сили у поздовжньому напрямку швидкість частинки постійна, а прискорення, отже, дорівнює нулю, що вимагає нескінченної за величиною ефективної маси тіла. У той же час, наявність поперечної сили призводить до зміни напрямку швидкості, і, отже, «поперечна маса» фотона має скінченну величину.

Аналогічно безглуздо для фотона вводити ефективну гравітаційну масу. У разі центрально-симетричного поля, розглянутого вище, для фотона, що падає вертикально вниз, вона дорівнюватиме ${\displaystyle E/c^{2}}$, а для фотона, що летить перпендикулярно напрямку на гравітаційний центр, — ${\displaystyle 2E/c^{2}}$.

Практичне значення

Формула на палубі першого авіаносця з ядерною силовою установкою USS Enterprise 31 липня 1964

Формула на пам'ятній монеті НБУ

Отримана Альбертом Ейнштейном еквівалентність маси тіла до енергії, що була запасена у тілі, стала одним з головних практично важливих результатів спеціальної теорії відносності. Співвідношення ${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$ показало, що у речовині закладені величезні (завдяки квадрату швидкості світла) запаси енергії, які можуть бути використані у енергетиці і військових технологіях.

Кількісні співвідношення між масою і енергією

У міжнародній системі одиниць SI відношення енергії і маси E/m виражається у джоулях на кілограм, і воно чисельно дорівнює квадрату значення швидкості світла c у метрах за секунду):

E / m = c² = (299 792 458 м/с)² = 89 875 517 873 681 764 Дж/кг (≈9,0× 10¹⁶ джоулів на кілограм).

Таким чином, 1 грам маси еквівалентний наступним значенням енергії:

• 89,9 тераджоулів (89,9 ТДж)
• 25,0 мільйонів кіловат-годин (25 ГВт·год),
• 21 500 000 000 кілокалорій (≈ 21 Ткав),
• 21,5 кілотонн у тротиловому еквіваленті (≈21 кт).

У ядерній фізиці часто застосовується значення відношення енергії та маси, виражене у мегаелектронвольтах на атомну одиницю маси — ≈931,494 МеВ/а.о.м.

Приклади взаємоперетворення енергії спокою і кінетичній енергії

Енергія спокою здатна переходити у кінетичну енергію частинок у результаті ядерних та хімічних реакцій, якщо у них маса речовини, що вступила у реакцію, більше маси речовини після реакції. Прикладами таких реакцій є:

• Анігіляція пари частинка-античастинка з утворенням двох фотонів. Наприклад, при анігіляції електрона та позитрона утворюється два гамма-кванти, і енергія спокою пари повністю переходить в енергію фотонів:

${\displaystyle e^{-}+e^{+}\rightarrow 2\gamma .}$

• Термоядерна реакція синтезу атому гелію з протонів і електронів, у якій різниця мас гелію і протонів перетворюється у кінетичну енергію гелію і енергію електронних нейтрино

${\displaystyle 2e^{-}+4p^{+}\rightarrow {}_{2}^{4}\mathrm {He} +2\nu _{e}+E_{\mathrm {kin} }.}$

• Реакція поділу ядра урану-235 при зіткненні з повільним нейтроном. При цьому ядро ділиться на дві частини з меншою сумарною масою з випусканням двох або трьох нейтронів і звільненням енергії близько 200 МеВ, що становить близько 1 відсотка від маси атома урану. Приклад такої реакції:

${\displaystyle {}_{92}^{235}\mathrm {U} +{}_{0}^{1}n\rightarrow {}_{36}^{93}\mathrm {Kr} +{}_{56}^{140}\mathrm {Ba} +3~{}_{0}^{1}n.}$

• Реакція горіння метану:

${\displaystyle \mathrm {CH} _{4}+2\mathrm {O} _{2}\rightarrow \mathrm {CO} _{2}+2\mathrm {H} _{2}\mathrm {O} .}$

У цій реакції виділяється близько 35,6 МДж теплової енергії на кубічний метр метану, що становить близько 10⁻¹⁰ від його енергії спокою. Таким чином, у хімічних реакціях перетворення енергії спокою у кінетичну енергію значно нижче, ніж у ядерних.

Важливо відзначити, що у практичних застосуваннях перетворення енергії спокою у енергію випромінювання рідко відбувається зі стовідсотковою ефективністю. Теоретично досконалим перетворенням було б зіткнення матерії з антиматерією, однак у більшості випадків замість випромінювання виникають побічні продукти і внаслідок цього тільки дуже мала кількість енергії спокою перетворюється в енергію випромінювання.

Існують також зворотні процеси, що збільшують енергію спокою, а отже і масу. Наприклад, при нагріванні тіла збільшується його внутрішня енергія, у результаті чого зростає маса тіла. Інший приклад — зіткнення частинок. У подібних реакціях можуть народжуватися нові частинки, маси яких істотно більше, ніж у вихідних. «Джерелом» маси таких частинок є кінетична енергія зіткнення.

Історія і питання пріоритету

Джозеф Джон Томсон першим спробував пов'язати енергію і масу

Уявлення про масу, що залежить від швидкості, і про зв'язок між масою і енергією почало формуватися ще до появи спеціальної теорії відносності. Зокрема, у спробах узгодити рівняння Максвелла з рівняннями класичної механіки деякі ідеї були висунуті у статтях Миколи Умова, Дж. Дж. Томсона, Олівера Гевісайда, , Макса Абрагама, Гендріка Лоренца та Анрі Пуанкаре. Однак тільки у Альберта Ейнштейна ця залежність універсальна, не пов'язана з ефіром і не обмежена електродинамікою.

Вважається, що вперше спроба пов'язати масу й енергію була зроблена в роботі Дж. Дж. Томсона, що з'явилася у році. Томсон у своїй роботі вводить поняття електромагнітної маси, називаючи так внесок, що привносить в інертну масу зарядженого тіла електромагнітне поле, що створюється цим тілом.

Ідея наявності інерції у електромагнітного поля присутня також і в роботі Гевісайда, що вийшла в 1889 році. Виявлені у 1949 році чернетки його рукописів вказують на те, що десь у цей же час, розглядаючи задачу про поглинання і випромінювання світла, він отримує співвідношення між масою і енергією тіла у вигляді ${\displaystyle E=mc^{2}}$.

У році Анрі Пуанкаре опублікував роботу, у якій прийшов до висновку, що світло як переносник енергії повинне мати масу, яка визначається виразом ${\displaystyle E/v^{2},}$ де E — енергія, яку переносить світло, v — швидкість переносу.

Гендрік Антон Лоренц вказував на залежність маси тіла від його швидкості

У роботах Макса Абрагама ( рік) і Гендріка Лоренца ( рік) було вперше встановлено, що для рухомого тіла не можна ввести єдиний коефіцієнт пропорційності між його прискоренням і силою, що діє на нього. Ними були введені поняття поздовжньої і поперечної мас. Ці поняття за допомогою другого закону Ньютона застосовувались для опису динаміки частки, що рухається зі швидкістю близької до швидкості світла. Так, Лоренц у своїй роботі писав:

Отже, у процесах, при яких виникає прискорення у напрямку руху, електрон поводиться так, ніби він має масу ${\displaystyle m_{1},}$ а при прискоренні у напрямку, перпендикулярному до руху, як ніби володіє масою ${\displaystyle m_{2}.}$ Величинам ${\displaystyle m_{1}}$ і ${\displaystyle m_{2}}$ тому зручно дати назви «поздовжньої» і «поперечної» електромагнітних мас. Оригінальний текст (англ.) Hence, in phenomena in which there is an acceleration in the direction of motion, the electron behaves as if it had a mass ${\displaystyle m_{1}}$, those in which the acceleration is normal to the path, as if the mass were ${\displaystyle m_{2}}$. These quantities ${\displaystyle m_{1}}$ and ${\displaystyle m_{2}}$ may therefore properly be called the "longitudinal" and "transverse" electromagnetic masses of the electron

Експериментально залежність інертних властивостей тіл від їх швидкості була продемонстрована на початку XX століття у роботах Вальтера Кауфмана (1902 рік) і Альфреда Бухерера ( рік).

У 1904–1905 роках ^[en] у своїй роботі приходить до висновку, що наявність у порожнині випромінювання виявляється у тому числі і так, ніби маса порожнини збільшилася.

Альберт Ейнштейн сформулював принцип еквівалентності енергії та маси в найзагальнішому вигляді

У році з'являється відразу цілий ряд основоположних робіт Альберта Ейнштейна, у тому числі і робота, присвячена аналізу залежності інертних властивостей тіла від його енергії. Зокрема, при розгляді випускання масивним тілом двох «кількостей світла» у цій роботі вперше вводиться поняття енергії спокою тіла і робиться наступний висновок:

Маса тіла є міра утримання енергії у цьому тілі, якщо енергія змінюється на величину L, то маса змінюється відповідно на величину L/9×10^20, причому тут енергія вимірюється в ергах, а маса — в грамах… Якщо теорія відповідає фактам, то випромінювання переносить інерцію між випромінюючими і поглинаючими тілами Оригінальний текст (нім.) Die Masse eines Körpers ist ein Maß für dessen Energieinhalt; ändert sich die Energie um L, so ändert sich die Masse in demselben Sinne um L/9×10^20 wenn die Energie in Erg und die Masse in Grammen gemessen wird… Wenn die Theorie den Tatsachen entspricht, so überträgt die Strahlung trägheit zwischen den emittierenden und absorbierenden Körpern

У році Ейнштейн вперше говорить про те, що закон збереження маси є всього лише окремим випадком закону збереження енергії.

У більш повній мірі принцип еквівалентності маси і енергії був сформульований Ейнштейном у роботі 1907, у якій він пише

…спрощене припущення ${\displaystyle \mu V^{2}=}$ε0 є одночасно виразом принципу еквівалентності маси і енергії… Оригінальний текст (нім.) …daß die vereinfachende Festsetzung ${\displaystyle \mu V^{2}=}$ ε0 zugleich der Ausdruck des Prinzipes der Äquivalenz von Masse und Energie ist…

Під спрощеним припущенням тут мається на увазі вибір довільної постійної у виразі для енергії. У більш докладній статті, що вийшла в тому ж році, Ейнштейн зауважує, що енергія є також і мірою гравітаційної взаємодії тіл.

У виходить робота Ейнштейна, присвячена гравітаційному впливу масивних тіл на світло. У цій роботі їм приписується фотону інертна і гравітаційна маса, що дорівнює ${\displaystyle E/c^{2}}$ і для величини відхилення променя світла у полі тяжіння Сонця виводиться значення 0,83 дугової секунди, що у два рази менше правильного значення, отриманого ним же пізніше на основі розвинутої загальної теорії відносності. Цікаво, що те ж саме половинне значення було отримано ^[en] ще у , але його робота залишилася непоміченою.

Експериментально еквівалентність маси і енергії було вперше продемонстровано у . У Парижі Ірен та Фредерік Жоліо-Кюрі зробили фотографію процесу перетворення кванта світла, що несе енергію, у дві частинки, які мають ненульову масу. Приблизно у той же час у Кембриджі Джон Кокрофт та Ернест Томас Синтон Волтон спостерігали виділення енергії при діленні атома на дві частини, сумарна маса яких виявилася меншою, ніж маса вихідного атома.

Вплив на культуру

З моменту відкриття формула ${\displaystyle E=mc^{2}}$ стала однією з найвідоміших фізичних формул і є символом теорії відносності. Незважаючи на те, що історично формула була вперше запропонована не Альбертом Ейнштейном, зараз вона асоціюється виключно з його ім'ям, наприклад, саме ця формула була використана як назва телевізійної біографії відомого вченого, що вийшла у 2005 році. Популярності формули сприяло широке використання популяризаторами науки контрінтуїтивний висновок, що маса тіла збільшується зі збільшенням його швидкості. Крім того, з цією ж формулою асоціюється потужність атомної енергії. Так, у 1946 році журнал «Time» на обкладинці зобразив Ейнштейна на тлі гриба ядерного вибуху з формулою ${\displaystyle E=mc^{2}}$ на ньому.

• Бюст Ейнштейна в австралійському ^[en]
• «Теорія відносності», одна з шести скульптур в ансамблі Walk of Ideas у Берліні

Див. також

• Спеціальна теорія відносності
• Загальна теорія відносності

Примітки

1. Einstein A. Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen : [ 8 липня 2012] : ( )[нім.] // Jahrbuch der Radioaktivität. — 1907. — Bd. 4. — С. 411—462.
   Einstein A. Berichtigung zu der Arbeit: «Uber das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen» : ( )[нім.] // Jahrbuch der Radioaktivität. — 1907. — Bd. 5. — С. 98—99.
   русский перевод: Эйнштейн А. О принципе относительности и его следствиях // Теория относительности. Избранные работы. — Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — С. 83—135. — .
2. Паулі В. §41. Инерция энергии // Теория относительности / В. Л. Гінзбург и . — 3-е изд. — М. : Наука, 1991. — С. 166—169. — (Библиотека теоретической физики) — 17700 прим. — .
3. Угаров В. А. Специальная теория относительности. — Москва : Наука, 1977.
4. Окунь Л. Б. Понятие массы (Масса, энергия, относительность) (Методические заметки) // УФН. — 1989. — Т. 158. — С. 511—530.
5. Окунь Л. Б. Формула Эйнштейна: E₀=mc². «Не смеётся ли Господь Бог»? // УФН. — 2008. — Т. 178. — С. 541–555.
6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. — 2006. — С. 47—48.
7. У нерелятивістській механіці, строго кажучи, енергія визначається з точністю до довільного доданка, проте, ніякого конкретного фізичного сенсу цей доданок не має, тому вибирається зазвичай так, щоб енергія спокою тіла була рівною нулю
8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. — 2006. — С. 46.
9. Бергман П. Г. Введение в теорию относительности = Introduction to the theory of relativity / В. Л. Гинзбург. — М. : Государственное издательство иностранной литературы, 1947. — С. 131—133.
10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. — 2006. — С. 49.
11. Barut A. O. Electrodynamics and classical theory of fields & particles. — New York : Dover Publications, 1980. — С. 58. — .
12. Угаров В. А. Дополнение IV. // Специальная теория относительности. — Москва : Наука, 1977.
13. Р. Фейнман, , . Глава 15. Специальная теория относительности // Фейнмановские лекции по физике. Выпуск 1. Современная наука о природе. Законы механики. Выпуск 2. Пространство. Время. Движение. — 6-е изд. — Либроком, 2009. — 440 с. — .
14. див. наприклад Сивухин Д.В. Оптика. — 1980. — С. 671—673.
15. Загальний курс фізики = Общий курс физики. — М. : Наука, 1979. — Т. I. Механика. — 520 с.
16. В. А. Фок. Масса и энергия // УФН. — 1952. — Т. 48, вип. 2. — С. 161—165.
17. В. Л. Гинзбург, Ю. Н. Ерошенко. Еще раз о принципе эквивалентности // УФН. — 1995. — Т. 165. — С. 205—211.
18. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. — 1988. — С. 349—361.
19. И. Ю. Кобзарев, Л. Б. Окунь. О массе фотона // УФН. — 1968. — Т. 95. — С. 131—137.
20. USS Baindridge (DLGN/CGN 25). NavSource Online: Cruiser Photo Archive. NavSource Naval History. Архів оригіналу за 25 січня 2012. Процитовано 27 вересня 2010.
21. Чернин А. Д. Формула Эйнштейна : ( )[рос.] // Трибуна УФН.
22. Пайс А. Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна. — М. : Наука, 1989. — С. 143—145. — 36500 прим. — .
23. Thomson J. J. On the electric and magnetic effects produced by the motion of electrified bodies : ( )[англ.] // Philosophical Magazine. — 1881. — Vol. 11. — С. 229—249.
24. Heaviside O. On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric : ( )[англ.] // Philosophical Magazine. — 1889. — Vol. 27. — С. 324—339.
25. Болотовский Б. М. Оливер Хевисайд. — М. : Наука, 1985. — 254 с.
26. Кларк А. XVI. Человек до Эйнштейна // Голос через океан. — М. : Связь, 1964. — 236 с. — 20000 прим.
27. Poincaré H. La théorie de Lorentz et le principe de réaction : ( )[фр.] // Archives néerlandaises des sciences exactes et naturelles. — 1900. — Т. 5. — С. 252—278.
28. Abraham M. Prinzipien der Dynamik des Elektrons : ( )[нім.] // Phys. Z.. — 1902. — Bd. 4. — С. 57—63.
    Abraham M. Prinzipien der Dynamik des Elektrons : ( )[нім.] // ^[en]. — 1903. — Bd. 315. — С. 105—179.
29. Lorentz H. Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light : ( )[англ.] // Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences. — 1904. — Vol. 6. — С. 809—831.
30. Кудрявцев, 1971, с. 39.
31. Kaufmann W. Die elektromagnetische Masse des Elektrons : [ 14 березня 2012] : ( )[нім.] // Phys. Z.. — 1902. — Bd. 4. — С. 54—57.
32. Bucherer A. H. On the principle of relativity and on the electromagnetic mass of the electron. A Reply to Mr. E. Cunningham : ( )[англ.] // Philos. Mag.. — 1908. — Vol. 15. — С. 316—318.
    Bucherer A. H. Messungen an Becquerelstrahlen. Die experimentelle Bestätigung der Lorentz-Einsteinschen Theorie : ( )[нім.] // Phys. Z.. — 1908. — Bd. 9. — С. 755—762.
33. Hasenöhrl F. Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern : ( )[нім.] // . — 1904. — Bd. 15 [320]. — С. 344—370.
    Hasenöhrl F. Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern. Berichtigung : ( )[нім.] // . — 1905. — Bd. 16 [321]. — С. 589—592.
34. Einstein A. Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? : ( )[нім.] // . — 1905. — Bd. 18 [323]. — С. 639—641.
35. Кудрявцев, 1971, с. 51.
36. Einstein A. Das Prinzip von der Erhaltung der Schwerpunktsbewegung und die Trägheit der Energie : ( )[нім.] // . — 1906. — Bd. 20. — С. 627–633.
37. Einstein A. Über die vom Relativitätsprinzip geforderte Trägheit der Energie : ( )[нім.] // . — 1907. — Bd. 23 [328]. — С. 371—384.
38. Einstein A. Über den Einfluss der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes : ( )[нім.] // . — 1911. — Bd. 35 [340]. — С. 898—908.
39. Einstein A. Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie : ( )[нім.] // Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte. — 1915. — Bd. 47, № 2. — С. 831—839.
40. von Soldner J. Ueber die Ablenkung eines Lichtstrals von seiner geradlinigen Bewegung, durch die Attraktion eines Weltkörpers, an welchem er nahe vorbei geht : ( )[нім.] // Astronomisches Jahrbuch für das Jahr. — 1804. — С. 161—172.
41. E=mc² (англійською) . . Архів оригіналу за 25 січня 2012. Процитовано 22 січня 2011.
42. E=mc² на сайті IMDb (англ.)
43. Friedman A. J., Donley C. C. Einstein as Myth and Muse. — Cambridge : Cambridge Univ. Press, 1985. — С. 154—155. — 224 с. — .
44. Albert Einstein (російською) . Time magazine. 1 июля 1946. Архів оригіналу за 25 січня 2012. Процитовано 30 січня 2011.

Посилання

• Einstein Explains the Equivalence of Energy and Matter (англійською) . Американський інститут фізики. Архів оригіналу за 25 січня 2012. Процитовано 19 серпня 2010.
• The Antimatter Calculator (англійською) . Edward Muller's Homepage. Архів оригіналу за 25 січня 2012. Процитовано 31 січня 2011.
• Сторінка рукопису Ейнштейна 1912 року із рівнянням E=mc² (англійською) . . Архів оригіналу за 25 січня 2012. Процитовано 31 січня 2011.

Джерела

• The Equivalence of Mass and Energy — Entry in the Stanford Encyclopedia of Philosophy
• Living Reviews in Relativity — An open access, peer-referred, solely online physics journal publishing invited reviews covering all areas of relativity research.
• A shortcut to E=mc² — An easy to understand, high-school level derivation of the E=mc² formula.
• Джеммер М. Понятие массы в классической и современной физике. — М. : Прогресс, 1967. — 255 с.

• Okun L. B. Energy and mass in relativistic theory. — World Scientific, 2009. — 311 с.

• Глава третья. Решение проблемы электродинамики движущихся сред // История физики. Т. III От открытия квант до квантовой механики. — М. : Просвещение, 1971. — С. 36—57. — 23000 прим.