В математиці формула Ейлера — Маклорена визначає тісний зв'язок між інтегралами і рядами. Названа на честь швейцарського математика Леонарда Ейлера і шотландського математика Коліна Маклорена.
Твердження
Нехай p і q два цілих числа. Для 2k разів неперервно диференційованої на проміжку , функції :
де :
В даних формулах позначає i-й многочлен Бернуллі, — періодизований многочлен Бернуллі. Числа bi позначають числа Бернуллі : b1 = −1/2, b2 = 1/6, b3 = 0, b4 = −1/30, b5 = 0, b6 = 1/42, b7 = 0, b8 = −1/30.
Завдяки заміні змінних подібну формулу можна одержати для інтервалу межі якого не є цілими числами.
Доведення
Достатньо довести справедливість для інтервалу де ; загальна формула одержується за допомогою сумування.
Нехай g — функція неперервно диференційована на інтервалі . Використовуючи властивість многочленів Бернуллі : , одержуємо з інтегрування частинами :
Оскільки для , виконується , одержуємо :
Рекурентністю для k від 0 до 2p, приймаючи , одержується :
З властивості : , одержується :
Посилання
- Weisstein, Eric W. Euler-Maclaurin Integration Formulas(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Література
- Цегелик Г.Г. Чисельні методи. – Львів: Видавничий центр Львівського національного університету, 2004. – 408 с
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2300+ с.(укр.)
- Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. pp. 495–519.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V matematici formula Ejlera Maklorena viznachaye tisnij zv yazok mizh integralami i ryadami Nazvana na chest shvejcarskogo matematika Leonarda Ejlera i shotlandskogo matematika Kolina Maklorena TverdzhennyaNehaj p i q dva cilih chisla Dlya 2k raziv neperervno diferencijovanoyi na promizhku p q displaystyle p q funkciyi f p f q 2 j p 1 q 1 f j p q f x d x j 1 k b 2 j 2 j f 2 j 1 q f 2 j 1 p R k displaystyle frac f left p right f left q right 2 sum j p 1 q 1 f left j right int p q f x dx sum j 1 k frac b 2j 2j left f 2j 1 q f 2j 1 p right R k de R k p q f 2 k x B 2 k x x 2 k d x displaystyle R k int p q f 2k x B 2k x lfloor x rfloor over 2k dx V danih formulah B i displaystyle B i poznachaye i j mnogochlen Bernulli B i x x displaystyle B i x lfloor x rfloor periodizovanij mnogochlen Bernulli Chisla bi poznachayut chisla Bernulli b1 1 2 b2 1 6 b3 0 b4 1 30 b5 0 b6 1 42 b7 0 b8 1 30 Zavdyaki zamini zminnih podibnu formulu mozhna oderzhati dlya intervalu mezhi yakogo ne ye cilimi chislami DovedennyaDostatno dovesti spravedlivist dlya intervalu n n 1 displaystyle n n 1 de n Z displaystyle n in mathbb Z zagalna formula oderzhuyetsya za dopomogoyu sumuvannya Nehaj g funkciya neperervno diferencijovana na intervali n n 1 displaystyle n n 1 Vikoristovuyuchi vlastivist mnogochleniv Bernulli k N B k 1 k 1 B k displaystyle forall k in mathbb N B k 1 left k 1 right B k oderzhuyemo z integruvannya chastinami n n 1 g t B k t n d t g t B k 1 t n k 1 n n 1 1 k 1 n n 1 g t B k 1 t n d t displaystyle int n n 1 g left t right B k left t n right dt left frac g left t right B k 1 left t n right k 1 right n n 1 frac 1 k 1 int n n 1 g left t right B k 1 left t n right dt Oskilki dlya k 2 displaystyle k geq 2 vikonuyetsya B k 1 B k 0 b k displaystyle B k left 1 right B k left 0 right b k oderzhuyemo n n 1 g t B k t n d t b k 1 k 1 g n 1 g n 1 k 1 n n 1 g t B k 1 t n d t displaystyle int n n 1 g left t right B k left t n right dt frac b k 1 k 1 left g left n 1 right g left n right right frac 1 k 1 int n n 1 g left t right B k 1 left t n right dt Rekurentnistyu dlya k vid 0 do 2p prijmayuchi g f 2 p displaystyle g f 2p oderzhuyetsya n n 1 f t d t f n f n 1 2 k 2 2 p 1 k 1 b k k f k 1 n 1 f k 1 n 1 2 p n n 1 f 2 p t B 2 p t n d t displaystyle int n n 1 f left t right dt frac f left n right f left n 1 right 2 sum k 2 2p frac left 1 right k 1 b k k left f k 1 left n 1 right f k 1 left n right right frac 1 2p int n n 1 f 2p left t right B 2p left t n right dt Z vlastivosti k 1 b 2 k 1 0 displaystyle forall k geq 1 b 2k 1 0 oderzhuyetsya n n 1 f t d t f n f n 1 2 k 2 p 2 b 2 k 2 k f 2 k 1 n 1 f 2 k 1 n 1 2 p n n 1 f 2 p t B 2 p t n d t displaystyle int n n 1 f left t right dt frac f left n right f left n 1 right 2 sum k 2 lfloor frac p 2 rfloor frac b 2k 2k left f 2k 1 left n 1 right f 2k 1 left n right right frac 1 2p int n n 1 f 2p left t right B 2p left t n right dt PosilannyaWeisstein Eric W Euler Maclaurin Integration Formulas angl na sajti Wolfram MathWorld LiteraturaCegelik G G Chiselni metodi Lviv Vidavnichij centr Lvivskogo nacionalnogo universitetu 2004 408 s Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2300 s ukr Hugh L Montgomery Robert C Vaughan 2007 Multiplicative number theory I Classical theory Cambridge tracts in advanced mathematics 97 pp 495 519 ISBN 0 521 84903 9