Формалізм Пресса–Шехтера — математична модель для розрахунку кількості об’єктів (таких як галактики, скупчення галактик або гало темної матерії) певної маси в межах заданого об’єму Всесвіту. Формалізм був створений Вільямом Прессом та Полом Шехтером в 1974 році.
Контекст
У контексті космологічних моделей холодної темної матерії збурення на всіх просторових масштабах зʼявляються у Всесвіті в дуже ранні часи, наприклад, завдяки квантовим флуктуаціям під час інфляції. Пізніше ці збурення густини всесвіту починають лінійно зростати. Лише набагато пізніше збурення зростають настільки, що утворюють стуктури (наприклад, галактики або скупчення галактик), і їхнє зростання вже стає нелінійним. Такі структури формуються ієрархічно, починаючи з малих масштабів і поступово просуваючись до все більших масштабів мас.
Пресс і Шехтер зрозуміли, що кількість сколапсованих об'єктів, масивніших за деяку масу M, визначається кількістю елементів об'єму, у яких початкові флуктуації густини, зростаючи в лінійному режимі, встигли за вік існування Всесвіту досягти величини порядку одиниці. Це дозволило їм отримати формулу для розподілу мас об’єктів у будь-який момент часу.
Результат
Формалізм Пресса–Шехтера передбачає, що кількість об’єктів із масами між і становить
Якісне передбачення полягає в тому, що розподіл мас є степеневим законом для малих мас, з експоненціальним відсіченням вище деякої характерної маси, яка збільшується з часом. Такі функції Шехтер ще раніше помітив як гарне наближення до спостережуваних [en], і тепер вони відомі як функції світності Шехтера. Формалізм Пресса-Шехтера забезпечив першу кількісну модель, яка математично пояснила утворення таких функцій.
Випадок безмасштабного спектру потужності, n = 0 (або, що еквівалентно, [en] 1) є дуже близьким до спектру стандартної космологічної моделі. В цьому випадку, має простішу форму, яка в безмасових одиницях винлядає так:
Припущення та ескіз виведення
Формалізм Пресса-Шехтера виводиться з трьох ключових припущень:
- Матерія у Всесвіті має збурення , які слідують розподілу Гауса, і дисперсія цього розподілу залежить від масштабу, заданого спектром потужності
- Збурення матерії зростають лінійно, пропорційно функції зростання,
- Гало є сферичними віріалізованими надлишками густини, з густиною вище критичної,
Іншими словами, флуктуації невеликі в якийсь ранній космологічний час і зростають, доки не перетнуть певний поріг, що завершується гравітаційним колапсом у гало. Ці збурення моделюються лінійно, хоча остаточний колапс сам по собі є нелінійним процесом.
Вводиться згладжене поле густини яке дається усередненим по сфері з центром . Розглядається маса , яка міститься всередині цього радіусу. Радіус сфери має порядок . Тоді, якщо то точка належить до гало з масою принаймні
Оскільки флуктуації розподілені за гаусовим законом із середнім 0 і дисперсією ми можемо безпосередньо обчислити ймовірність утворення гало з масою принаймні як
Зауважимо, що в граничному випадку великих збурень очікується, що вся матерія буде міститися в гало, так що Однак наведене вище рівняння дає граничне значення Цю хибу можна виправити примущенням ad hoc, постулювавши, що відʼємні збурення не беруть участь у цій схемі, і тому помилково втрачається половини маси. Отже, анзац Пресса-Шехтера дає наступний вираз для частки речовини, що міститься в гало маси
Флуктуація досягає гравітаційного колапсу тоді, коли Всесвіт розширюється в 1/δ разів. Використовуючи це, нормальний розподіл флуктуацій, записаний через , , і , дає формулу Пресса-Шехтера.
Узагальнення
Існує ряд узагальнень формули Пресса–Шехтера, наприклад [en].
Примітки
- Dark Matter Halos, Mass Functions, and Cosmology: a Theorist’s View
- Formation of Galaxies and Clusters of Galaxies by Self-Similar Gravitational Condensation, W.H. Press, P. Schechter, 1974
- Barkana, Rennan (2018). The Encyclopedia of Cosmology, Volume 1: Galaxy Formation and Evolution. World Scientific. ISBN .
- Baumann, Daniel (2022). Cosmology. 2022. ISBN .
- Sheth, R. K., & Tormen, G. (1999). Large-scale bias and the peak background split. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 308(1), 119-126.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Formalizm Pressa Shehtera matematichna model dlya rozrahunku kilkosti ob yektiv takih yak galaktiki skupchennya galaktik abo galo temnoyi materiyi pevnoyi masi v mezhah zadanogo ob yemu Vsesvitu Formalizm buv stvorenij Vilyamom Pressom ta Polom Shehterom v 1974 roci KontekstU konteksti kosmologichnih modelej holodnoyi temnoyi materiyi zburennya na vsih prostorovih masshtabah zʼyavlyayutsya u Vsesviti v duzhe ranni chasi napriklad zavdyaki kvantovim fluktuaciyam pid chas inflyaciyi Piznishe ci zburennya gustini vsesvitu pochinayut linijno zrostati Lishe nabagato piznishe zburennya zrostayut nastilki sho utvoryuyut stukturi napriklad galaktiki abo skupchennya galaktik i yihnye zrostannya vzhe staye nelinijnim Taki strukturi formuyutsya iyerarhichno pochinayuchi z malih masshtabiv i postupovo prosuvayuchis do vse bilshih masshtabiv mas Press i Shehter zrozumili sho kilkist skolapsovanih ob yektiv masivnishih za deyaku masu M viznachayetsya kilkistyu elementiv ob yemu u yakih pochatkovi fluktuaciyi gustini zrostayuchi v linijnomu rezhimi vstigli za vik isnuvannya Vsesvitu dosyagti velichini poryadku odinici Ce dozvolilo yim otrimati formulu dlya rozpodilu mas ob yektiv u bud yakij moment chasu RezultatFormalizm Pressa Shehtera peredbachaye sho kilkist ob yektiv iz masami mizh M displaystyle M i M d M displaystyle M dM stanovitM d n d M 1 p r M M M 1 2 e M M displaystyle M frac dn dM frac 1 sqrt pi frac bar rho M left frac M M right 1 2 e M M de n displaystyle n indeks spektru potuzhnosti fluktuacij u rannomu Vsesviti P k k n displaystyle P k propto k n r displaystyle bar rho serednya barionna ta temna gustina materiyi u Vsesviti v toj chas koli gravitacijno skolapsuvala ta fluktuaciya z yakoyi utvorivsya ob yekt a M displaystyle M granichna masa nizhche yakoyi utvoryuyutsya strukturi Yiyi znachennya stanovitd n N M d M 1 p 1 n 3 r M 2 M M 3 n 6 exp M M 3 n 3 d M displaystyle dn equiv N M dM frac 1 sqrt pi left 1 frac n 3 right frac bar rho M 2 left frac M M right left 3 n right 6 exp left left frac M M right left 3 n right 3 right dM Tut s displaystyle sigma standartne vidhilennya na odinicyu ob yemu fluktuaciyi z yakoyi utvorivsya skolapsovanij ob yekt na moment gravitacijnogo kolapsu a R masshtab Vsesvitu na toj moment Parametri z indeksom 0 vidpovidayut momentu pochatkovogo utvorennya fluktuacij abo bud yakomu piznishomu momentu ale do momentu gravitacijnogo kolapsu Yakisne peredbachennya polyagaye v tomu sho rozpodil mas ye stepenevim zakonom dlya malih mas z eksponencialnim vidsichennyam vishe deyakoyi harakternoyi masi yaka zbilshuyetsya z chasom Taki funkciyi Shehter she ranishe pomitiv yak garne nablizhennya do sposterezhuvanih en i teper voni vidomi yak funkciyi svitnosti Shehtera Formalizm Pressa Shehtera zabezpechiv pershu kilkisnu model yaka matematichno poyasnila utvorennya takih funkcij Vipadok bezmasshtabnogo spektru potuzhnosti n 0 abo sho ekvivalentno en 1 ye duzhe blizkim do spektru standartnoyi kosmologichnoyi modeli V comu vipadku d n displaystyle dn maye prostishu formu yaka v bezmasovih odinicyah vinlyadaye tak M r 1 n 3 2 s 2 3 3 n r 0 1 n 3 2 s 0 2 3 3 n R 0 2 R 2 displaystyle M left frac bar rho 1 frac n 3 2 sigma 2 right frac 3 3 n left frac bar rho 0 1 frac n 3 2 sigma 0 2 right frac 3 3 n cdot frac R 0 2 R 2 Pripushennya ta eskiz vivedennyaFormalizm Pressa Shehtera vivoditsya z troh klyuchovih pripushen Materiya u Vsesviti maye zburennya d displaystyle delta yaki sliduyut rozpodilu Gausa i dispersiya cogo rozpodilu zalezhit vid masshtabu zadanogo spektrom potuzhnosti P k displaystyle P k Zburennya materiyi zrostayut linijno proporcijno funkciyi zrostannya d D displaystyle delta propto D Galo ye sferichnimi virializovanimi nadlishkami gustini z gustinoyu vishe kritichnoyi d d c displaystyle delta geq delta c Inshimi slovami fluktuaciyi neveliki v yakijs rannij kosmologichnij chas i zrostayut doki ne peretnut pevnij porig sho zavershuyetsya gravitacijnim kolapsom u galo Ci zburennya modelyuyutsya linijno hocha ostatochnij kolaps sam po sobi ye nelinijnim procesom Vvoditsya zgladzhene pole gustini d M x displaystyle delta M vec x yake dayetsya d x displaystyle delta vec x userednenim po sferi z centrom x displaystyle vec x Rozglyadayetsya masa M displaystyle M yaka mistitsya vseredini cogo radiusu Radius sferi maye poryadok M r R 3 displaystyle M sim bar rho R 3 Todi yaksho d M x d c displaystyle delta M vec x geq delta c to tochka x displaystyle vec x nalezhit do galo z masoyu prinajmni M displaystyle M Oskilki fluktuaciyi d M displaystyle delta M rozpodileni za gausovim zakonom iz serednim 0 i dispersiyeyu s M displaystyle sigma M mi mozhemo bezposeredno obchisliti jmovirnist utvorennya galo z masoyu prinajmni M displaystyle M yakf d M gt d c d c d d M 1 2 p s R exp 1 2 d M 2 s 2 M 1 2 erfc 1 2 d M s M displaystyle f delta M gt delta c int delta c infty d delta M frac 1 sqrt 2 pi sigma R exp left frac 1 2 frac delta M 2 sigma 2 M right frac 1 2 operatorname erfc left frac 1 sqrt 2 frac delta M sigma M right Pri comu s R displaystyle sigma R i d M displaystyle delta M zalezhat vid chervonogo zsuvu otzhe vid nogo zalezhit i navedena vishe jmovirnist Dispersiya navedena v statti 1974 roku stanovitF gt M erfc 1 2 d M s M displaystyle F gt M operatorname erfc left frac 1 sqrt 2 frac delta M sigma M right de S displaystyle Sigma ye standartnim vidhilennyam masovim v ob yemi fluktuaciyi Zauvazhimo sho v granichnomu vipadku velikih zburen s M d M displaystyle sigma M gg delta M ochikuyetsya sho vsya materiya bude mistitisya v galo tak sho f d M gt d c 1 textstyle f delta M gt delta c 1 Odnak navedene vishe rivnyannya daye granichne znachennya f d M gt d c 1 2 textstyle f delta M gt delta c frac 1 2 Cyu hibu mozhna vipraviti primushennyam ad hoc postulyuvavshi sho vidʼyemni zburennya ne berut uchast u cij shemi i tomu pomilkovo vtrachayetsya polovini masi Otzhe anzac Pressa Shehtera daye nastupnij viraz dlya chastki rechovini sho mistitsya v galo masi gt M displaystyle gt M F gt M erfc 1 2 d M s M displaystyle F gt M operatorname erfc left frac 1 sqrt 2 frac delta M sigma M right Fluktuaciya d displaystyle delta dosyagaye gravitacijnogo kolapsu todi koli Vsesvit rozshiryuyetsya v 1 d raziv Vikoristovuyuchi ce normalnij rozpodil fluktuacij zapisanij cherez M displaystyle M r displaystyle rho i s displaystyle sigma daye formulu Pressa Shehtera UzagalnennyaIsnuye ryad uzagalnen formuli Pressa Shehtera napriklad en PrimitkiDark Matter Halos Mass Functions and Cosmology a Theorist s View Formation of Galaxies and Clusters of Galaxies by Self Similar Gravitational Condensation W H Press P Schechter 1974 Barkana Rennan 2018 The Encyclopedia of Cosmology Volume 1 Galaxy Formation and Evolution World Scientific ISBN 9789814656221 Baumann Daniel 2022 Cosmology 2022 ISBN 9781108838078 Sheth R K amp Tormen G 1999 Large scale bias and the peak background split Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 308 1 119 126