У задачах комп'ютерного зору тріангуляція — процес визначення точки в тривимірному просторі за її проєкціями на двох або більше зображеннях. Для вирішення цієї задачі необхідно знати параметри функції проєкції камери з 3D в 2D, у найпростішому випадку представленою матрицею камери. Тріангуляцію іноді називають реконструкцією.
Задача тріангуляції в теорії тривіальна. Кожній точці зображення відповідає пряма в тривимірному просторі, всі точки, що лежать на цій прямій проєктуються в одну й ту саму точку на зображенні. Якщо можна знайти пару [en] на двох або більше зображеннях, які є проєкціями точки x у тривимірному просторі, набір ліній, утворених точками зображень мають перетинатися в точці x, а алгебраїчне значення координат точки x можна розрахувати багатьма шляхами.
На практиці, однак, координати точки зображення не можна визначити з великою точністю. Різні типи спотворень, такі як геометрична дисторсія об'єктиву, шум або помилка визначення положення локальних ознак, призводять до неточності визначення координат відповідних точок зображень. Як наслідок, лінії, утворені відповідними точками не завжди перетинаються в тривимірному просторі. Задачею тоді стає знаходження координат тривимірної точки яка оптимально проєктується в точки на зображеннях. У літературі є кілька пропозицій щодо визначення оптимальності і методів знаходження оптимальної точки. Оскільки вони ґрунтуються на різних критеріях оптимальності, різні методи дають різні оцінки тривимірної точки x у випадках наявності спотворень і шуму.
Методи
Метод середньої точки
Кожна з двох точок зображення y та
має відповідну проекційну лінію, позначемо їх як
та
, які можна визначити враховуючи матриці камер
. Нехай
— функція відстані між лінією L та точкою x така, що d(L, x) — евклідова відстань між L та x. Метод середньої точки знаходить точку
, яка мінімізує
Виявляється, перетин лежить точно в середині найкоротшого відрізка, який з'єднує дві проєкційні лінії.
Річард І. Хартлі та Пітер Штурм у своїй статті «Тріангуляция» відзначають, що цей метод не є ані афінним ані проективним інваріантом, оскільки такі поняття як перпендикуляр та середня точка не є афінними концепціями. Цей метод відзначено як найгірший з усіх розглянутих у цій статті.
За допомогою істотної матриці
Задачею, яку потрібно вирішити, є обчислення тривимірних координат у просторі з відповідних нормованих координат зображення
та
. Якщо істотна матриця відома й були визначені відповідні перетворення повороту та зсуву, можна використати алгоритм описаний у роботі Лонгуе-Гіггінса.
Нехай позначає рядок k матриці обертання
:
Поєднуючи наведені вище співвідношення між тривимірними координатами в двох системах координат та проєкцією 3D точок на 2D зображення
або
Після знаходження дві інші координати можуть буди знайдені як
Наведений розв'язок не є унікальним. Почавши із , можна отримати
відповідно
В ідеальному випадку, коли камера відповідає ідеальній камері-обскурі, а шум відсутній і точки можуть бути визначені точно, ці два значення для співпадатимуть. На практиці, однак, це не завжди так, і може бути корисним об'єднати значення
, наприклад, як середнє арифметичне.
Через пряме лінійне перетворення
Джерела
- Richard Hartley and Andrew Zisserman (2003). Multiple View Geometry in computer vision. Cambridge University Press. ISBN .
Див. також
Примітки
- Richard I. Hartley. (PDF). COMPUTER VISION AND IMAGE UNDERSTANDING. Архів оригіналу (PDF) за 14 вересня 2021. Процитовано 14 вересня 2021.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Triangulyaciya U zadachah komp yuternogo zoru triangulyaciya proces viznachennya tochki v trivimirnomu prostori za yiyi proyekciyami na dvoh abo bilshe zobrazhennyah Dlya virishennya ciyeyi zadachi neobhidno znati parametri funkciyi proyekciyi kameri z 3D v 2D u najprostishomu vipadku predstavlenoyu matriceyu kameri Triangulyaciyu inodi nazivayut rekonstrukciyeyu Zadacha triangulyaciyi v teoriyi trivialna Kozhnij tochci zobrazhennya vidpovidaye pryama v trivimirnomu prostori vsi tochki sho lezhat na cij pryamij proyektuyutsya v odnu j tu samu tochku na zobrazhenni Yaksho mozhna znajti paru en na dvoh abo bilshe zobrazhennyah yaki ye proyekciyami tochki x u trivimirnomu prostori nabir linij utvorenih tochkami zobrazhen mayut peretinatisya v tochci x a algebrayichne znachennya koordinat tochki x mozhna rozrahuvati bagatma shlyahami Na praktici odnak koordinati tochki zobrazhennya ne mozhna viznachiti z velikoyu tochnistyu Rizni tipi spotvoren taki yak geometrichna distorsiya ob yektivu shum abo pomilka viznachennya polozhennya lokalnih oznak prizvodyat do netochnosti viznachennya koordinat vidpovidnih tochok zobrazhen Yak naslidok liniyi utvoreni vidpovidnimi tochkami ne zavzhdi peretinayutsya v trivimirnomu prostori Zadacheyu todi staye znahodzhennya koordinat trivimirnoyi tochki yaka optimalno proyektuyetsya v tochki na zobrazhennyah U literaturi ye kilka propozicij shodo viznachennya optimalnosti i metodiv znahodzhennya optimalnoyi tochki Oskilki voni gruntuyutsya na riznih kriteriyah optimalnosti rizni metodi dayut rizni ocinki trivimirnoyi tochki x u vipadkah nayavnosti spotvoren i shumu MetodiMetod serednoyi tochki Kozhna z dvoh tochok zobrazhennya y y1 displaystyle mathbf y 1 ta y2 displaystyle mathbf y 2 maye vidpovidnu proekcijnu liniyu poznachemo yih yak L1 displaystyle mathbf L 1 ta L2 displaystyle mathbf L 2 yaki mozhna viznachiti vrahovuyuchi matrici kamer C1 C2 displaystyle mathbf C 1 mathbf C 2 Nehaj d displaystyle d funkciya vidstani mizh liniyeyu L ta tochkoyu x taka sho d L x evklidova vidstan mizh L ta x Metod serednoyi tochki znahodit tochku xest displaystyle x est yaka minimizuye L1 x 2 d L2 x 2 displaystyle L 1 x 2 d L 2 x 2 Viyavlyayetsya peretin xest displaystyle x est lezhit tochno v seredini najkorotshogo vidrizka yakij z yednuye dvi proyekcijni liniyi Richard I Hartli ta Piter Shturm u svoyij statti Triangulyaciya vidznachayut sho cej metod ne ye ani afinnim ani proektivnim invariantom oskilki taki ponyattya yak perpendikulyar ta serednya tochka ne ye afinnimi koncepciyami Cej metod vidznacheno yak najgirshij z usih rozglyanutih u cij statti Za dopomogoyu istotnoyi matrici Dokladnishe Istotna matricya Zadacheyu yaku potribno virishiti ye obchislennya trivimirnih koordinat u prostori x1 x2 x3 displaystyle x 1 x 2 x 3 z vidpovidnih normovanih koordinat zobrazhennya y1 y2 displaystyle y 1 y 2 ta y1 y2 displaystyle y 1 y 2 Yaksho istotna matricya vidoma j buli viznacheni vidpovidni peretvorennya povorotu ta zsuvu mozhna vikoristati algoritm opisanij u roboti Longue Gigginsa Nehaj rk displaystyle mathbf r k poznachaye ryadok k matrici obertannya R displaystyle mathbf R R r1 r2 r3 displaystyle mathbf R begin pmatrix mathbf r 1 mathbf r 2 mathbf r 3 end pmatrix Poyednuyuchi navedeni vishe spivvidnoshennya mizh trivimirnimi koordinatami v dvoh sistemah koordinat ta proyekciyeyu 3D tochok na 2D zobrazhennya y1 x1 x3 r1 x t r3 x t r1 y t x3 r3 y t x3 displaystyle y 1 frac x 1 x 3 frac mathbf r 1 cdot tilde mathbf x mathbf t mathbf r 3 cdot tilde mathbf x mathbf t frac mathbf r 1 cdot mathbf y mathbf t x 3 mathbf r 3 cdot mathbf y mathbf t x 3 abo x3 r1 y1 r3 t r1 y1 r3 y displaystyle x 3 frac mathbf r 1 y 1 mathbf r 3 cdot mathbf t mathbf r 1 y 1 mathbf r 3 cdot mathbf y Pislya znahodzhennya x3 displaystyle x 3 dvi inshi koordinati mozhut budi znajdeni yak x1x2 x3 y1y2 displaystyle begin pmatrix x 1 x 2 end pmatrix x 3 begin pmatrix y 1 y 2 end pmatrix Navedenij rozv yazok ne ye unikalnim Pochavshi iz y2 displaystyle y 2 mozhna otrimati x3 displaystyle x 3 vidpovidno x3 r2 y2 r3 t r2 y2 r3 y displaystyle x 3 frac mathbf r 2 y 2 mathbf r 3 cdot mathbf t mathbf r 2 y 2 mathbf r 3 cdot mathbf y V idealnomu vipadku koli kamera vidpovidaye idealnij kameri obskuri a shum vidsutnij i tochki mozhut buti viznacheni tochno ci dva znachennya dlya x3 displaystyle x 3 spivpadatimut Na praktici odnak ce ne zavzhdi tak i mozhe buti korisnim ob yednati znachennya x3 displaystyle x 3 napriklad yak serednye arifmetichne Cherez pryame linijne peretvorennya Dokladnishe Pryame linijne peretvorennyaDzherelaRichard Hartley and Andrew Zisserman 2003 Multiple View Geometry in computer vision Cambridge University Press ISBN 978 0 521 54051 3 Div takozhPeretin pryamih Istotna matricya Pryame linijne peretvorennya Nalashtuvannya puchkaPrimitkiRichard I Hartley PDF COMPUTER VISION AND IMAGE UNDERSTANDING Arhiv originalu PDF za 14 veresnya 2021 Procitovano 14 veresnya 2021