Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
В геометрії точка на нескінченності або ідеальна точка є ідеалізованою обмежувальною точкою на «кінці» кожної прямої.
В [en] (в тому числі евклідовій площині) існує одна ідеальна точка для кожного пучка паралельних прямих площини. Приєднання цих точок утворює проєктивну площину, в якій точки вже не можливо розрізнити, якщо ми «не пам'ятаємо» які точки були додані. Це справедливо для геометрії над будь-яким полем і, загалом, над будь-яким тілом.
Точка на нескінченності доповнює пряму до топологічно замкненої кривої. У багатовимірних просторах всі точки на нескінченності утворюють проєктивний підпростір на один вимір менше, ніж проєктивний простір, до якого вони належать. Точка на нескінченності також може бути додана до комплексної прямої (яку можна вважати комплексною площиною), тим самим перетворюючи її на замкнену поверхню, відому як комплексна проєктивна пряма, CP1, яка також називається сферою Рімана (коли комплексні числа відображаються в кожній точці).
У гіперболічному просторі кожна пряма має дві різні ідеальні точки. Тут множина ідеальних точок має форму квадрики.
Афінна геометрія
У афінному або евклідовому просторах більшої вимірності точки на нескінченності — це точки, які додаються до простору для того, щоб отримати проєктивний простір. Множина точок на нескінченності називається залежно від вимірності простору: [en], [en] або [en], в будь-якому випадку вимірність проєктивного простору буде на одиницю менше.
Проєктивний простір над полем — це [en], те саме стосується і множини точок на нескінченності. Аналогічно, якщо основне поле є дійсним або комплексним, то множина точок на нескінченності є многовидом.
Перспектива
В живописі та для технічних зображень, перспектива є проєкцією на площину точки на нескінченності для класу паралельних прямих і називається зникомою точкою.
Гіперболічна геометрія
У гіперболічній геометрії точки на нескінченності зазвичай називають ідеальними точками. На відміну від евклідової та еліптичної геометрії, у кожної прямої є дві точки на нескінченності: для прямої l та точки P, яка не належить l, право- та ліво- асимптотично паралельні прямі збігаються асимптотично до різних точок на нескінченності.
Всі точки на нескінченності разом утворюють абсолют Кляйна або границю гіперболічної площини.
Інші узагальнення
Ця конструкція може бути узагальнена на топологічні простори. Для топологічного простору можуть існувати різні компактифікації, але довільний топологічний простір допускає компактифікацію Александрова, яку також називають одноточковою компактифікцією, коли початковий простір сам по собі не є компактним. Проєктивна пряма (над довільним полем) — це компактифікація Александрова відповідного поля. Таким чином, коло — це одноточкова компактифікація дійсної прямої, а сфера — одноточкова компактифікація площини. Проєктивні простори Pn для n > 1 не є одноточковими компактифікаціями відповідних афінних просторів з причини, зазначеної вище у § Афінна геометрія та доповнення гіперболічних просторів ідеальними точками також не є одноточковими компактифікаціями.
Див. також
- Ділення на нуль
- (Узагальнення середньої точки)
- Проєктивно розширена числова пряма
- Ідеальний трикутник
- Дійсна точка
Примітки
- Weisstein, Eric W. Point at Infinity. mathworld.wolfram.com (англ.). Wolfram Research. Процитовано 28 грудня 2016.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V geometriyi tochka na neskinchennosti abo idealna tochka ye idealizovanoyu obmezhuvalnoyu tochkoyu na kinci kozhnoyi pryamoyi Dijsna pryama z tochkoyu na neskinchennosti yiyi nazivayut en V en v tomu chisli evklidovij ploshini isnuye odna idealna tochka dlya kozhnogo puchka paralelnih pryamih ploshini Priyednannya cih tochok utvoryuye proyektivnu ploshinu v yakij tochki vzhe ne mozhlivo rozrizniti yaksho mi ne pam yatayemo yaki tochki buli dodani Ce spravedlivo dlya geometriyi nad bud yakim polem i zagalom nad bud yakim tilom Tochka na neskinchennosti dopovnyuye pryamu do topologichno zamknenoyi krivoyi U bagatovimirnih prostorah vsi tochki na neskinchennosti utvoryuyut proyektivnij pidprostir na odin vimir menshe nizh proyektivnij prostir do yakogo voni nalezhat Tochka na neskinchennosti takozh mozhe buti dodana do kompleksnoyi pryamoyi yaku mozhna vvazhati kompleksnoyu ploshinoyu tim samim peretvoryuyuchi yiyi na zamknenu poverhnyu vidomu yak kompleksna proyektivna pryama CP1 yaka takozh nazivayetsya sferoyu Rimana koli kompleksni chisla vidobrazhayutsya v kozhnij tochci U giperbolichnomu prostori kozhna pryama maye dvi rizni idealni tochki Tut mnozhina idealnih tochok maye formu kvadriki Afinna geometriyaU afinnomu abo evklidovomu prostorah bilshoyi vimirnosti tochki na neskinchennosti ce tochki yaki dodayutsya do prostoru dlya togo shob otrimati proyektivnij prostir Mnozhina tochok na neskinchennosti nazivayetsya zalezhno vid vimirnosti prostoru en en abo en v bud yakomu vipadku vimirnist proyektivnogo prostoru bude na odinicyu menshe Proyektivnij prostir nad polem ce en te same stosuyetsya i mnozhini tochok na neskinchennosti Analogichno yaksho osnovne pole ye dijsnim abo kompleksnim to mnozhina tochok na neskinchennosti ye mnogovidom Perspektiva Dokladnishe Perspektiva V zhivopisi ta dlya tehnichnih zobrazhen perspektiva ye proyekciyeyu na ploshinu tochki na neskinchennosti dlya klasu paralelnih pryamih i nazivayetsya znikomoyu tochkoyu Giperbolichna geometriyaDokladnishe Idealna tochka U giperbolichnij geometriyi tochki na neskinchennosti zazvichaj nazivayut idealnimi tochkami Na vidminu vid evklidovoyi ta eliptichnoyi geometriyi u kozhnoyi pryamoyi ye dvi tochki na neskinchennosti dlya pryamoyi l ta tochki P yaka ne nalezhit l pravo ta livo asimptotichno paralelni pryami zbigayutsya asimptotichno do riznih tochok na neskinchennosti Vsi tochki na neskinchennosti razom utvoryuyut absolyut Klyajna abo granicyu giperbolichnoyi ploshini Inshi uzagalnennyaDokladnishe Kompaktifikaciya Cya konstrukciya mozhe buti uzagalnena na topologichni prostori Dlya topologichnogo prostoru mozhut isnuvati rizni kompaktifikaciyi ale dovilnij topologichnij prostir dopuskaye kompaktifikaciyu Aleksandrova yaku takozh nazivayut odnotochkovoyu kompaktifikciyeyu koli pochatkovij prostir sam po sobi ne ye kompaktnim Proyektivna pryama nad dovilnim polem ce kompaktifikaciya Aleksandrova vidpovidnogo polya Takim chinom kolo ce odnotochkova kompaktifikaciya dijsnoyi pryamoyi a sfera odnotochkova kompaktifikaciya ploshini Proyektivni prostori Pn dlya n gt 1 ne ye odnotochkovimi kompaktifikaciyami vidpovidnih afinnih prostoriv z prichini zaznachenoyi vishe u Afinna geometriya ta dopovnennya giperbolichnih prostoriv idealnimi tochkami takozh ne ye odnotochkovimi kompaktifikaciyami Div takozhDilennya na nul Uzagalnennya serednoyi tochki Proyektivno rozshirena chislova pryama Idealnij trikutnik Dijsna tochkaPrimitkiWeisstein Eric W Point at Infinity mathworld wolfram com angl Wolfram Research Procitovano 28 grudnya 2016