Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Підтримка
www.wikidata.uk-ua.nina.az

Симетрії інволюції Cs Cnv nn n Dnh n22 n 2 n 3 n32 Тетраедрична симетрія Td 332 3 3 Oh 432 4 3 Ih 532 5 3 Правильний тет

Тетраедрична симетрія

Тетраедрична симетрія
image
Симетрії-інволюції
Cs, (*)
[ ] = image 		image

Cnv, (*nn)
[n] = imageimageimage 		image

Dnh, (*n22)
[n,2] = imageimageimageimageimage
, [n,3], (*n32)
image
Тетраедрична симетрія
Td, (*332)
[3,3] = imageimageimageimageimage 		image

Oh, (*432)
[4,3] = imageimageimageimageimage 		image

Ih, (*532)
[5,3] = imageimageimageimageimage

Правильний тетраедр має 12 обертових (зі збереженням орієнтації) симетрій та [en] порядку 24, що включають комбінацію відбиттів та обертань.

image
Правильний тетраедр — приклад тіла з повною тетраедричною симетрією

Група всіх симетрій ізоморфна групі S4, симетричній групі перестановок чотирьох елементів, оскільки є рівно одна така симетрія для кожної перестановки вершин тетраедра. Множина симетрій, що зберігають орієнтацію, утворює групу, яка є знакозмінною підгрупою A4 групи S4.

Подробиці

Хіральна і повна (або ахіральна тетраедрична симетрія та піритоедрична симетрія) є [ru] (або, що те саме, симетріями на сфері). Вони входять у кристалографічні групи симетрії кубічної сингонії.

У стереографічній проєкції ребра утворюють на площині 6 кіл (або центральних радіальних прямих). Кожне з цих кіл представляє дзеркало в тетраедричній симетрії. Перетини цих кіл дають точки обертання порядку 2 і 3.

Ортогональна
проєкція 		Стереографічна проєкція
4-разова 3-разова 2-разова
Хіральна тетраедрична симетрія, T, (332), [3,3]+ = [1+,4,3+],

imageimageimageimageimage = imageimageimageimageimage

image image image image
Піритоедрична симетрія, Th, (3*2), [4,3+],imageimageimageimageimage
image image image image
Ахіральна тетраедрична симетрія, Td, (*332), [3,3] = [1+4,3],imageimageimageimageimage = imageimageimageimageimage
image image image image

Хіральна тетраедрична симетрія

image

Тетраедрична група обертань T з фундаментальною областю. Для триакістетраедра (див. нижче) область є повною гранню

imageТетраедр можна розташувати в 12 різних положеннях, використовуючи лише обертання. Це проілюстровано вище графом циклів з поворотами ребер на 180° (блакитні стрілки) і поворотами вершин на 120° (червоні стрілки) . image

У триакістетраедрі одна повна грань є фундаментальною областю. Інші тіла з такою ж симетрією можна одержати зміною орієнтації граней. Наприклад, сплющенням деякої підмножини граней, щоб утворити одну грань, або заміною однієї грані групою граней чи навіть кривою поверхнею

T, 332, [3,3]+, або 23 порядку 12 — хіральна або обертальна тетраедрична симетрія. Є три ортогональних 2-разових осі обертання, на зразок хіральної [en] D2 або 222, а також чотири додаткові 3-разові осі. Ця група ізоморфна A4 знакозмінній групі 4 елементів. Фактично, це група парних перестановок чотирьох 3-разових осей: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).

Класами спряженості T є:

  • тотожність
  • 4 × обертання на 120° за годинниковою стрілкою (якщо дивитись від вершини): (234), (143), (412), (321)
  • 4 × обертання на 120° проти годинникової стрілки (те саме)
  • 3 × обертання на 180°

Обертання на 180° разом з тотожним перетворенням утворюють нормальну підгрупу типу Dih2 з фактор-групою типу Z3. Трьома елементами останньої є тотожне перетворення, «обертання за годинниковою стрілкою» і «обертання проти годинникової стрілки», що відповідають перестановкам трьох ортогональних 2-разових осей зі збереженням орієнтації.

A4 — найменша група, яка показує, що теорема, обернена до теореми Лагранжа, в загальному випадку, хибна — якщо дано скінченну групу G і дільник d числа |G|, не обов'язково існує підгрупа групи G з порядком d — група G = A4 не має підгрупи порядку 6.

Підгрупи хіральної тетраедричної симетрії

image
Підгрупи хіральної тетраедричної симетрії
Шенфліс [en] [en] [en] [de] Цикли [en] Індекс
T [3,3]+ imageimageimageimageimage = imageimageimageimage 332 23 A4 image 12 1
D2 [2,2]+ imageimageimageimageimage = imageimageimageimage 222 222 Dih2 image 4 3
C3 [3]+ imageimageimage 33 3 Z3 image 3 4
C2 [2]+ imageimageimage 22 2 Z2 image 2 6
C1 [ ]+ image 11 1 Z1 image 1 12

Хіральна тетраедрична симетрія

image
Повна тетраедрична група Td з фундаментальною областю

Td, *332, [3,3] чи 43m порядку 24 — ахіральна чи повна тетраедрична симетрія, відома також як [en] (2,3,3). Ця група має такі ж осі обертань, що й T, але з шістьма площинами дзеркальної симетрії, які проходять через кожну пару 3-разових осей. 2-разові осі тепер є осями S4 (4). Td і O ізоморфні як абстрактні групи — обидві групи відповідають S4, симетричній групі 4 елементів. Td є об'єднанням T і множини, отриманої комбінацією кожного елемента O \ T з центральною симетрією. Див. також ізометрії неправильного тетраедра.

Класами спряженості Td є:

  • тотожність
  • 8 × обертання на 120 °
  • 3 × обертання на 180 °
  • 6 × відбиття відносно площини, яка проходить через дві осі обертання
  • 6 × дзеркальний поворот на 90°

Підгрупи ахіральної тетраедричної симетрії

image
Правильний тетраедр — приклад тіла з повною тетраедричною симетрією
Шен-
фліс 		[en] [en] [en] [de] Цикли [en] Індекс
Td [3,3] imageimageimageimageimage *332 43m S4 image 24 1
C3v [3] imageimageimage *33 3m Dih3=S3 image 6 4
C2v [2] imageimageimage *22 mm2 Dih2 image 4 6
Cs [ ] image * 2 or m Dih1 image 2 12
D2d [2+,4] imageimageimageimageimage 2*2 42m Dih4 image 8 3
S4 [2+,4+] imageimageimageimageimage 2× 4 Z4 image 4 6
T [3,3]+ imageimageimageimageimage 332 23 A4 image 12 2
D2 [2,2]+ imageimageimageimageimage 222 222 Dih2 image 4 6
C3 [3]+ imageimageimage 33 3 Z3 = A3 image 3 8
C2 [2]+ imageimageimage 22 2 Z2 image 2 12
C1 [ ]+ image 11 1 Z1 image 1 24

Пірітоедрична симетрія

image
Піритоедрична група Th з фундаментальною областю
image
Шви волейбольного м'яча мають піритоедричну симетрію.

Th, 3*2, [4,3+] або m3 порядку 24 — піритоедрична симетрія. Ця група має ті ж самі осі обертання, що й T з дзеркальними площинами через два ортогональних напрямки. 3-рвзові осі тепер є осями S6 (3), і є центральна симетрія. Th ізоморфна T × Z2 — кожен елемент Th є або елементом T, або елементом, комбінованим із центральною симетрією. Крім цих двох нормальних підгруп, є ще одна нормальна підгрупа D2h (прямокутного паралелепіпеда), типу Dih2 × Z2 = Z2 × Z2 × Z2. Вона є прямим добутком нормальної підгрупи T (див. вище) з Ci. Фактор-група та ж сама, що й вище — Z3. Три елементи останньої — тотожне перетворення, "обертання за годинниковою стрілкою"і" обертання проти годинникової стрілки", відповідні перестановкам трьох ортогональних 2-разових осей зі збереженням орієнтації.

Це симетрія куба, в якого кожну грань розділено відрізком на два прямокутники, причому ніякі два відрізки не мають кінців на одному ребрі куба. Симетрії відповідають парним перестановкам діагоналей куба разом з центральною інверсією. Симетрія [ru] (піритоедра) дуже близька до описаної вище симетрії куба. Пірітоедр можна отримати з куба з розділеними навпіл гранями заміною прямокутників п'ятикутниками з однією віссю симетрії, 4 рівними сторонами; відмінна за довжиною сторона ділить квадратну грань куба навпіл. Тобто грані куба випинаються по відрізку, який їх ділить, а сам відрізок стає меншим. Симетрія куба з розділеними гранями є підгрупою групи [en] (як група ізометрії, не просто як абстрактна група) з 4 із 10 3-разових осей.

Класи спряженості Th включають класи спряженості T з комбінаціями двох класів із 4, а також кожен із класів із центральною симетрією:

  • тотожність
  • 8 × обертання на 120 °
  • 3 × обертання на 180 °
  • центральна симетрія
  • 8 × дзеркальний поворот на 60 °
  • 3 × дзеркальне відбиття (відносно площини)

Підгрупи піритоедричної симетрії

image
Пірітоедричні підгрупи
Шен-
фліс 		[en] [en] [en] [de] Цикли [en] Індекс
Th [3+,4] imageimageimageimageimage 3*2 m3 A4×2 image 24 1
D2h [2,2] imageimageimageimageimage *222 mmm Dih2×Dih1 image 8 3
C2v [2] imageimageimage *22 mm2 Dih2 image 4 6
Cs [ ] image * 2 or m Dih1 image 2 12
C2h [2+,2] imageimageimageimageimage 2* 2/m Z2×Dih1 image 4 6
S2 [2+,2+] imageimageimageimageimage × 1 2 or Z2 image 2 12
T [3,3]+ imageimageimageimageimage 332 23 A4 image 12 2
D3 [2,3]+ imageimageimageimageimage 322 3 Dih3 image 6 4
D2 [2,2]+ imageimageimageimageimage 222 222 Dih4 image 4 6
C3 [3]+ imageimageimage 33 3 Z3 image 3 8
C2 [2]+ imageimageimage 22 2 Z2 image 2 12
C1 [ ]+ image 11 1 Z1 image 1 24

Тіла з хіральною тетраедричною симетрією

image Ікосаедр, розфарбований як кирпатий тетраедр, має хіральну симетрію.

Тіла з повною тетраедричною симетрією

Клас Назва Малюнок Граней Ребер Вершин
Платонове тіло Тетраедр image 4 6 4
Архімедове тіло Зрізаний тетраедр image 8 18 12
(Каталанове тіло) Триакістетраедр image 12 18 8
[en] [en] image 16 42 28
[en] image 28 54 28
Однорідний
зірчастий многогранник 		Тетрагемігексаедр image 7 12 6

Див. також

  • [en]
  • [en]
  • [en]

Примітки

  1. Koca та ін., 2016.

Література

  • P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom : Cambridge University Press, 1997. — С. 295. — .
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — New-York : A K Peters/CRC Press,, 2008. — .
  • H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss,. — Wiley-Interscience Publication,, 1995. — .
  • Norman Johnson. Chapter 11: Finite symmetry groups // Geometries and Transformations. — 2015.

Посилання

  • Weisstein, Eric W. Тетраедрична група(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет

Simetriyi involyuciyi Cs Cnv nn n Dnh n22 n 2 n 3 n32 Tetraedrichna simetriya Td 332 3 3 Oh 432 4 3 Ih 532 5 3 Pravilnij tetraedr maye 12 obertovih zi zberezhennyam oriyentaciyi simetrij ta en poryadku 24 sho vklyuchayut kombinaciyu vidbittiv ta obertan Pravilnij tetraedr priklad tila z povnoyu tetraedrichnoyu simetriyeyu Grupa vsih simetrij izomorfna grupi S4 simetrichnij grupi perestanovok chotiroh elementiv oskilki ye rivno odna taka simetriya dlya kozhnoyi perestanovki vershin tetraedra Mnozhina simetrij sho zberigayut oriyentaciyu utvoryuye grupu yaka ye znakozminnoyu pidgrupoyu A4 grupi S4 PodrobiciHiralna i povna abo ahiralna tetraedrichna simetriya ta piritoedrichna simetriya ye ru abo sho te same simetriyami na sferi Voni vhodyat u kristalografichni grupi simetriyi kubichnoyi singoniyi U stereografichnij proyekciyi rebra utvoryuyut na ploshini 6 kil abo centralnih radialnih pryamih Kozhne z cih kil predstavlyaye dzerkalo v tetraedrichnij simetriyi Peretini cih kil dayut tochki obertannya poryadku 2 i 3 Ortogonalna proyekciya Stereografichna proyekciya 4 razova 3 razova 2 razova Hiralna tetraedrichna simetriya T 332 3 3 1 4 3 Piritoedrichna simetriya Th 3 2 4 3 Ahiralna tetraedrichna simetriya Td 332 3 3 1 4 3 Hiralna tetraedrichna simetriyaTetraedrichna grupa obertan T z fundamentalnoyu oblastyu Dlya triakistetraedra div nizhche oblast ye povnoyu grannyu Tetraedr mozhna roztashuvati v 12 riznih polozhennyah vikoristovuyuchi lishe obertannya Ce proilyustrovano vishe grafom cikliv z povorotami reber na 180 blakitni strilki i povorotami vershin na 120 chervoni strilki U triakistetraedri odna povna gran ye fundamentalnoyu oblastyu Inshi tila z takoyu zh simetriyeyu mozhna oderzhati zminoyu oriyentaciyi granej Napriklad splyushennyam deyakoyi pidmnozhini granej shob utvoriti odnu gran abo zaminoyu odniyeyi grani grupoyu granej chi navit krivoyu poverhneyu T 332 3 3 abo 23 poryadku 12 hiralna abo obertalna tetraedrichna simetriya Ye tri ortogonalnih 2 razovih osi obertannya na zrazok hiralnoyi en D2 abo 222 a takozh chotiri dodatkovi 3 razovi osi Cya grupa izomorfna A4 znakozminnij grupi 4 elementiv Faktichno ce grupa parnih perestanovok chotiroh 3 razovih osej e 123 132 124 142 134 143 234 243 12 34 13 24 14 23 Klasami spryazhenosti T ye totozhnist 4 obertannya na 120 za godinnikovoyu strilkoyu yaksho divitis vid vershini 234 143 412 321 4 obertannya na 120 proti godinnikovoyi strilki te same 3 obertannya na 180 Obertannya na 180 razom z totozhnim peretvorennyam utvoryuyut normalnu pidgrupu tipu Dih2 z faktor grupoyu tipu Z3 Troma elementami ostannoyi ye totozhne peretvorennya obertannya za godinnikovoyu strilkoyu i obertannya proti godinnikovoyi strilki sho vidpovidayut perestanovkam troh ortogonalnih 2 razovih osej zi zberezhennyam oriyentaciyi A4 najmensha grupa yaka pokazuye sho teorema obernena do teoremi Lagranzha v zagalnomu vipadku hibna yaksho dano skinchennu grupu G i dilnik d chisla G ne obov yazkovo isnuye pidgrupa grupi G z poryadkom d grupa G A4 ne maye pidgrupi poryadku 6 Pidgrupi hiralnoyi tetraedrichnoyi simetriyi Pidgrupi hiralnoyi tetraedrichnoyi simetriyi Shenflis en en en de Cikli en Indeks T 3 3 332 23 A4 12 1 D2 2 2 222 222 Dih2 4 3 C3 3 33 3 Z3 3 4 C2 2 22 2 Z2 2 6 C1 11 1 Z1 1 12Hiralna tetraedrichna simetriyaPovna tetraedrichna grupa Td z fundamentalnoyu oblastyu Td 332 3 3 chi 4 3m poryadku 24 ahiralna chi povna tetraedrichna simetriya vidoma takozh yak en 2 3 3 Cya grupa maye taki zh osi obertan sho j T ale z shistma ploshinami dzerkalnoyi simetriyi yaki prohodyat cherez kozhnu paru 3 razovih osej 2 razovi osi teper ye osyami S4 4 Td i O izomorfni yak abstraktni grupi obidvi grupi vidpovidayut S4 simetrichnij grupi 4 elementiv Td ye ob yednannyam T i mnozhini otrimanoyi kombinaciyeyu kozhnogo elementa O T z centralnoyu simetriyeyu Div takozh izometriyi nepravilnogo tetraedra Klasami spryazhenosti Td ye totozhnist 8 obertannya na 120 3 obertannya na 180 6 vidbittya vidnosno ploshini yaka prohodit cherez dvi osi obertannya 6 dzerkalnij povorot na 90 Pidgrupi ahiralnoyi tetraedrichnoyi simetriyi Pravilnij tetraedr priklad tila z povnoyu tetraedrichnoyu simetriyeyu Shen flis en en en de Cikli en Indeks Td 3 3 332 4 3m S4 24 1 C3v 3 33 3m Dih3 S3 6 4 C2v 2 22 mm2 Dih2 4 6 Cs 2 or m Dih1 2 12 D2d 2 4 2 2 4 2m Dih4 8 3 S4 2 4 2 4 Z4 4 6 T 3 3 332 23 A4 12 2 D2 2 2 222 222 Dih2 4 6 C3 3 33 3 Z3 A3 3 8 C2 2 22 2 Z2 2 12 C1 11 1 Z1 1 24Piritoedrichna simetriyaPiritoedrichna grupa Th z fundamentalnoyu oblastyu Shvi volejbolnogo m yacha mayut piritoedrichnu simetriyu Th 3 2 4 3 abo m3 poryadku 24 piritoedrichna simetriya Cya grupa maye ti zh sami osi obertannya sho j T z dzerkalnimi ploshinami cherez dva ortogonalnih napryamki 3 rvzovi osi teper ye osyami S6 3 i ye centralna simetriya Th izomorfna T Z2 kozhen element Th ye abo elementom T abo elementom kombinovanim iz centralnoyu simetriyeyu Krim cih dvoh normalnih pidgrup ye she odna normalna pidgrupa D2h pryamokutnogo paralelepipeda tipu Dih2 Z2 Z2 Z2 Z2 Vona ye pryamim dobutkom normalnoyi pidgrupi T div vishe z Ci Faktor grupa ta zh sama sho j vishe Z3 Tri elementi ostannoyi totozhne peretvorennya obertannya za godinnikovoyu strilkoyu i obertannya proti godinnikovoyi strilki vidpovidni perestanovkam troh ortogonalnih 2 razovih osej zi zberezhennyam oriyentaciyi Ce simetriya kuba v yakogo kozhnu gran rozdileno vidrizkom na dva pryamokutniki prichomu niyaki dva vidrizki ne mayut kinciv na odnomu rebri kuba Simetriyi vidpovidayut parnim perestanovkam diagonalej kuba razom z centralnoyu inversiyeyu Simetriya ru piritoedra duzhe blizka do opisanoyi vishe simetriyi kuba Piritoedr mozhna otrimati z kuba z rozdilenimi navpil granyami zaminoyu pryamokutnikiv p yatikutnikami z odniyeyu vissyu simetriyi 4 rivnimi storonami vidminna za dovzhinoyu storona dilit kvadratnu gran kuba navpil Tobto grani kuba vipinayutsya po vidrizku yakij yih dilit a sam vidrizok staye menshim Simetriya kuba z rozdilenimi granyami ye pidgrupoyu grupi en yak grupa izometriyi ne prosto yak abstraktna grupa z 4 iz 10 3 razovih osej Klasi spryazhenosti Th vklyuchayut klasi spryazhenosti T z kombinaciyami dvoh klasiv iz 4 a takozh kozhen iz klasiv iz centralnoyu simetriyeyu totozhnist 8 obertannya na 120 3 obertannya na 180 centralna simetriya 8 dzerkalnij povorot na 60 3 dzerkalne vidbittya vidnosno ploshini Pidgrupi piritoedrichnoyi simetriyi Piritoedrichni pidgrupi Shen flis en en en de Cikli en Indeks Th 3 4 3 2 m3 A4 2 24 1 D2h 2 2 222 mmm Dih2 Dih1 8 3 C2v 2 22 mm2 Dih2 4 6 Cs 2 or m Dih1 2 12 C2h 2 2 2 2 m Z2 Dih1 4 6 S2 2 2 1 2 or Z2 2 12 T 3 3 332 23 A4 12 2 D3 2 3 322 3 Dih3 6 4 D2 2 2 222 222 Dih4 4 6 C3 3 33 3 Z3 3 8 C2 2 22 2 Z2 2 12 C1 11 1 Z1 1 24Tila z hiralnoyu tetraedrichnoyu simetriyeyuIkosaedr rozfarbovanij yak kirpatij tetraedr maye hiralnu simetriyu Tila z povnoyu tetraedrichnoyu simetriyeyuKlas Nazva Malyunok Granej Reber Vershin Platonove tilo Tetraedr 4 6 4 Arhimedove tilo Zrizanij tetraedr 8 18 12 Katalanove tilo Triakistetraedr 12 18 8 en en 16 42 28 en 28 54 28 Odnoridnij zirchastij mnogogrannik Tetragemigeksaedr 7 12 6Div takozh en en en PrimitkiKoca ta in 2016 LiteraturaP Cromwell Polyhedra United Kingdom Cambridge University Press 1997 S 295 ISBN 0 521 55432 2 John H Conway Heidi Burgiel Chaim Goodman Strass The Symmetries of Things New York A K Peters CRC Press 2008 ISBN 978 1 56881 220 5 H S M Coxeter Kaleidoscopes Selected Writings of H S M Coxeter F Arthur Sherk Peter McMullen Anthony C Thompson Asia Ivic Weiss Wiley Interscience Publication 1995 ISBN 978 0 471 01003 6 Norman Johnson Chapter 11 Finite symmetry groups Geometries and Transformations 2015 PosilannyaWeisstein Eric W Tetraedrichna grupa angl na sajti Wolfram MathWorld

Дата публікації:
Топ