Тест Дікі-Фуллера

У статистиці, тест Дікі–Фуллера використовують для перевірки нульової гіпотези про наявність одиничного кореня в авторегресійній моделі. Альтернативна гіпотеза варіюється в залежності від версії тесту, але зазвичай означає наявність стаціонарности або тренд-стаціонарности. Названий на честь статистиків Девіда Дікі і Вейна Фулера, що розробили тест в 1979 році.

Тлумачення

Просту (АР)(1) подають як

${\displaystyle y_{t}=\rho y_{t-1}+u_{t}\,}$

де ${\displaystyle y_{t}}$ змінна яку моделюють, ${\displaystyle t}$ — часова змінна, ${\displaystyle \rho }$ — коефіцієнт і ${\displaystyle u_{t}}$ is the похибки. Маємо справу з одиничним коренем якщо${\displaystyle \rho =1}$. В такому випадку модель нестаціонарна.

Регресійну модель можна подати у вигляді

${\displaystyle \Delta y_{t}=(\rho -1)y_{t-1}+u_{t}=\delta y_{t-1}+u_{t}\,}$

де ${\displaystyle \Delta }$ — оператор першого диференціювання. Таку модель можна оцінити і тестування на наявність одиничного корення тотожне тестуванню ${\displaystyle \delta =0}$ (де ${\displaystyle \delta \equiv \rho -1}$). Позаяк тестують не вихідні дані, а лишки скористатися t-розподілом для отримання критичних значень не можна. Тому, наша статистика ${\displaystyle t}$ має спеціальний розподіл відомий як .

Є три основні версії тесту:

1. Тест на одиничний корінь:

${\displaystyle \Delta y_{t}=\delta y_{t-1}+u_{t}\,}$

2. Тест на одиничний корінь з самопливом:

${\displaystyle \Delta y_{t}=a_{0}+\delta y_{t-1}+u_{t}\,}$

3. Тест на одиничний корінь з самопливом і визначним відхиленням:

${\displaystyle \Delta y_{t}=a_{0}+a_{1}t+\delta y_{t-1}+u_{t}\,}$

Кожна версія тесту має власні критичні значення, які залежать від розміру вибірки. У всіх випадках нульовою гіпотезою є наявність одиничного кореня, ${\displaystyle \delta =0}$. Тести мають низьку потужність позаяк часто не можуть відрізнити справжній процес з одиничним коренем (${\displaystyle \delta =0}$) і процесом з коренем близьким до одиниці (${\displaystyle \delta }$ близьке до нуля). В таких випадках кажуть про «проблему позірної нерозрізнености».

Інтуїтивно тест можна пояснити наступним чином. Якщо ряд ${\displaystyle y}$ — стаціонарний (чи ), тоді він має схильність повертатися до середнього зі сталим значенням (чи мати визначне відхилення середнього). Тому, великі значення ряду матимуть схильність передувати малим значенням ряду (негативні зміни), a малі — будуть схильні передувати більшим значенням (позитивні зміни). Таким чином, рівень значень ряду буде значущим прогнозувальником змін у наступному проміжку часу, і матиме від'ємний знак коефіцієнта. Якщо ж ряд інтегровний, то позитивні й негативні зміни відбуватимуться з ймовірностями не залежними від теперішнього значення ряду; як у випадковому блуканні, де поточна позиція не впливає на напрям руху в наступному періоді.

Зауважимо, що

${\displaystyle \Delta y_{t}=a_{0}+u_{t}\,}$

що можна переписати як

${\displaystyle y_{t}=y_{0}+\sum _{i=1}^{t}u_{i}+a_{0}t}$

де визначне відхилення визначається ${\displaystyle a_{0}t}$, a стохастична константа задається як ${\displaystyle y_{0}+\sum _{i=1}^{t}u_{i}}$, у такому випадку маємо справу зі стохастичним відхиленням (трендом).

Існує також узагальнення тесту Дікі-Фулера (ДФ) яке називають (рДФ), у якому усуваються всі структурні чинники (автокореляція) з часового ряду, а відтак застосовують ту ж процедуру, що й у тесті ДФ.

Див. також

• Тест Філіпса-Перрона

Джерела

1. Dickey, D. A.; Fuller, W. A. (1979). Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root. . 74 (366): 427—431. doi:10.1080/01621459.1979.10482531. JSTOR 2286348. (англ.)
2. Enders, W. (2004). Applied Econometric Time Series (вид. Second). Hoboken: John Wiley & Sons. ISBN .

Посилання

• Statistical tables for unit-root tests — Dickey–Fuller table (англ.)
• How to do a Dickey-Fuller Test Using Excel (англ.)