Теорія нечітких множин

Нечітка множина — поняття, введене Лотфі Заде в 1965 році в статті «Fuzzy Sets» в журналі ^[en], в якому він розширив класичне поняття множини, допустивши, що характеристична функція множини (названа Заде функцією належності для нечіткої множини) може набувати будь-яких значень в інтервалі [0,1], а не тільки значень 0 або 1. Є базовим поняттям нечіткої логіки.

Визначення

Нехай ${\displaystyle \mho }$ — множина (класична). Нечітка множина ${\displaystyle \mathbf {A} }$ задається своєю функцією належності:

${\displaystyle \mu _{\mathbf {A} }:\quad \mho \to [0;1]}$

Порожня множина ${\displaystyle \mu _{\varnothing }(x)=0}$, універсальна множина ${\displaystyle \mu _{\mho }(x)=1}$.

Якщо ${\displaystyle \mu _{\mathbf {A} }}$ набуває значень ${\displaystyle \{0,1\}}$, то множина ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — це класична підмножина, ${\displaystyle \mathbf {A} \subseteq \mho }$, в іншому випадку множина ${\displaystyle \mathbf {A} }$ є нечіткою. Можна казати, що ${\displaystyle \mu _{\mathbf {A} }(x)}$ — це ступінь належності елемента ${\displaystyle x}$ до множини ${\displaystyle \mathbf {A} }$.

Носій нечіткої множини ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — це

${\displaystyle \mathrm {supp} \ \mathbf {A} =\left\{x\in \mho \mid \mu _{\mathbf {A} }>0\right\}}$

Множина рівня ${\displaystyle \alpha }$, де ${\displaystyle \alpha \in [0;1]}$ — це

${\displaystyle \mathbf {A} _{\alpha }=\left\{x\in \mho \mid \mu _{\mathbf {A} }\geq \alpha \right\}}$

Тоді

${\displaystyle \mathrm {supp} \ \mathbf {A} =\bigcup _{\alpha >0}\mathbf {A} _{\alpha }}$

Якщо ${\displaystyle \mho \subseteq \mathbb {R} }$, то зв'язні нечіткі множини називають ^[en].

Оскільки інтервали можна розглядати як нечіткі числа, то арифметика нечітких чисел є узагальненням інтервальної арифметики.

Операції над нечіткими множинами

Домінування (Вміщення)

Нехай ${\displaystyle \mathbf {A} }$ і ${\displaystyle \mathbf {B} }$ — нечіткі множини на універсальній множині ${\displaystyle \mathbf {E} }$.

Говорять, що ${\displaystyle \mathbf {A} }$ міститься в ${\displaystyle \mathbf {B} }$, якщо ${\displaystyle \forall x\in \mathbf {E} :\mu _{\mathbf {A} }(x)<\mu _{\mathbf {B} }(x)}$.

Позначення: ${\displaystyle \mathbf {A} \subset \mathbf {B} }$.

Інколи використовують термін «домінування», тобто у випадку, якщо ${\displaystyle \mathbf {A} \subset \mathbf {B} }$, говорять, що ${\displaystyle \mathbf {B} }$ домінує ${\displaystyle \mathbf {A} }$.

Рівність

${\displaystyle \mathbf {A} }$ і ${\displaystyle \mathbf {B} }$ рівні, якщо ${\displaystyle \forall x\in \mathbf {E} :\mu _{\mathbf {A} }(x)=\mu _{\mathbf {B} }(x)}$.

Позначення: ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} }$.

Доповнення

Нехай µ = [0, 1], ${\displaystyle \mathbf {A} }$ і ${\displaystyle \mathbf {B} }$ — нечіткі множини, задані на ${\displaystyle \mathbf {E} }$. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ і ${\displaystyle \mathbf {B} }$ доповнюють один одного, якщо

${\displaystyle \forall x\in \mathbf {E} :\mu _{\mathbf {A} }(x)=1-\mu _{\mathbf {B} }(x)}$.

Доповнення нечіткої множини А позначається символом ${\displaystyle {\overline {A}}}$.

Операція доповнення відповідає логічному запереченню.

Перетин

Перетин ${\displaystyle \mathbf {A} }$ і ${\displaystyle \mathbf {B} }$ позначається ${\displaystyle \mathbf {A} \cap \mathbf {B} }$ і визначається

${\displaystyle \mu _{\mathbf {A} \cap \mathbf {B} }(x)=\min(\mu _{\mathbf {A} }(x),\ \mu _{\mathbf {B} }(x))}$.

Перетин відповідає логічній зв'язці «і». ${\displaystyle \mathbf {A} \cap \mathbf {B} }$ — найменша нечітка підмножина, яка міститься одночасно в ${\displaystyle \mathbf {A} }$ і ${\displaystyle \mathbf {B} .}$

Об'єднання

Об'єднання нечітких множин А і В (А + В)

${\displaystyle A+B=\int _{U}^{}{\frac {\left(\mu \_A(u){\widehat {I}}\mu \_B(u)\ \right)}{u}}}$

Об'єднання відповідає логічній зв'язці «або».

А ∪ В — найбільша нечітка підмножина, яка включає як А, так і В, з функцією приналежності:

µA ∪ B(x)= max(µA(x), µ B(x)).

Диз'юнктивна сума

${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} =\mathbf {(A-B)} \cup \mathbf {(B-A)} =(\mathbf {A} \cup \mathbf {B} )-(\mathbf {A} \cap \mathbf {B} ).}$

А⊕B = (А — B) ∪ (B — А) = (А ∩) ∪ ∩ B) з функцією приналежності:

µA — B(x) = max {[min {µA(x), 1 — µB(x)}];

[min {1 — µA(x), µB(x)}] }

Добуток А і В позначається АВ і визначається

${\displaystyle AB=\int _{U}^{}{\frac {\left(\mu \_A(u)\mu \_B(u)\ \right)}{u}}}$

Піднесення до степеня

${\displaystyle a>0,A^{e}=\int _{U}^{}{\frac {\left(\mu \_A(u)\ \right)^{e}}{u}}}$

Концентрація (частковий випадок піднесення до степеня):

${\displaystyle CON(A)=A^{2}}$

Розтягування (розмивання):

${\displaystyle DIL(A)={\sqrt {A}}}$

Чітке відображення

Нехай X і Y — дві заданих універсальних множини. Говорять, що наявна функція, визначена на X зі значенням у Y, якщо, у силу деякого закону f, кожному елементу ${\displaystyle X\in \mathbb {X} }$ відповідає елемент ${\displaystyle y\in \mathbb {Y} }$.

Коли функцію f : ${\displaystyle X\to \mathbb {Y} }$ називають відображенням, значення ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {Y} }$, якого вона набуває на елементі ${\displaystyle x\in \mathbb {X} }$, звичайно називають образом елемента x.

Образом множини ${\displaystyle A\in \mathbb {X} }$ при відображенні ${\displaystyle c\in \mathbb {Y} }$ називають множину ${\displaystyle f(A)\in \mathbb {Y} }$ тих елементів Y, що є образами елементів множини А.

Дане класичне визначення відображення, яке у теорії нечітких множин називають чітким відображенням.

Нечітке відображення

Нечітке відображення— це ^[en] виду:

${\displaystyle \varphi :\quad \mathbf {X} _{1}\times \mathbf {X} _{2}\times \cdots \times \mathbf {X} _{n}\to \mathbf {Y} }$

Нечіткі відображення задаються функціями належності образів нечітких множин.

Тобто, якщо ${\displaystyle ~\mu _{k}(x_{k})}$ — функція належності множини ${\displaystyle \mathbf {A} _{k}}$ та нехай

${\displaystyle \mathbf {B} \subset \mathbf {Y} ,\quad \mathbf {A} _{1}\subset \mathbf {X} _{1},\quad \mathbf {A} _{2}\subset \mathbf {X} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathbf {A} _{n}\subset \mathbf {X} _{n}}$

Тоді функція належності множини B задається у вигляді:

${\displaystyle \mu _{\mathbf {B} }=\mathrm {supp} _{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in \mathbf {X} }\min {\Big (}\mu _{1}(x_{1})\mu _{2}(x_{2})\ldots \mu _{n}(x_{n})\mu _{\varphi }(x_{1}\ldots x_{n}y){\Big )}}$

Або:

${\displaystyle \mu _{\varphi (x_{1}\ldots x_{n})}=\mathrm {supp} _{x_{1},\ldots ,x_{n} \atop \varphi (x_{1}\ldots x_{n})}\min {\Big (}\mu _{a_{1}}(x_{1}),\ldots ,\mu _{a_{n}}(x_{n}){\Big )}}$

Джерела

• О. Ф. Волошин, С. О. Мащенко (2011). Моделі та методи прийняття рішень. Київ.
• В. Я. Півкін, Є. П. Бакулін, Д. І. Кореньков; (2001). Нечіткі множини в системах управління: навч. посібник [Електронний ресурс].