Теорема ван Обеля про трикутник

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Теорема ван Обеля.

Теорема ван Обеля про трикутник — класична теорема афінної геометрії.

Формулювання

Випадок, коли всі три точки лежать на сторонах трикутника, а не на їх продовженнях.

Випадок, коли дві точки лежать на продовженнях сторін.

Якщо прямі ${\displaystyle AP}$, ${\displaystyle BP}$, ${\displaystyle CP}$ перетинають відповідно прямі ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$ і ${\displaystyle AB}$, що містять сторони трикутника ${\displaystyle ABC}$, відповідно в точках ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle B_{1}}$ і ${\displaystyle C_{1}}$, то виконується рівність відношень напрямлених відрізків:

${\displaystyle {\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}+{\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}={\frac {AP}{PA_{1}}}}$.

Зауваження

• Якщо відрізки співнапрямлені (однаково спрямовані), то верхні знаки напрямлених відрізків можна прибрати, і ми отримаємо скалярний варіант теореми ван Обеля:

  ${\displaystyle {\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}+{\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}={\frac {AP}{PA_{1}}}}$.

Про доведення

Зазвичай доводиться застосуванням методу центрів мас; доведення можна також побудувати на основі теореми Менелая.

Див. також

• Теорема ван Обеля про чотирикутник