Теоремами Мертенса називаються кілька пов'язаних тверджень, щодо властивостей простих чисел доведені у 1874 році польським математиком Францом Мертенсом.
Твердження теорем
Нехай є дійсним числом і вирази і позначають суму по всіх натуральних і простих числах, що не перевищують. Тоді виконуються такі рівності (кожну із яких називають теоремою Мертенса):
- Тут є функцією фон Мангольдта.
- Більш того для будь-якого натурального числа за абсолютним значенням не перевищує 2.
-
- Тут є функцією Чебишева.
- Константа називається константою Майсселя — Мертенса і вона є рівною:
Література
- Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — Москва : Мир, 1974. — 187 с.(рос.)
- Apostol Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, , MR 0434929, Zbl 0335.10001
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teoremami Mertensa nazivayutsya kilka pov yazanih tverdzhen shodo vlastivostej prostih chisel dovedeni u 1874 roci polskim matematikom Francom Mertensom Tverdzhennya teoremNehaj x displaystyle x ye dijsnim chislom i virazi n x textstyle sum n leqslant x i p x textstyle sum p leqslant x poznachayut sumu po vsih naturalnih i prostih chislah sho ne perevishuyut Todi vikonuyutsya taki rivnosti kozhnu iz yakih nazivayut teoremoyu Mertensa 1 n xL n n log x O 1 displaystyle 1 quad sum n leqslant x frac Lambda n n log x O 1 Tut L n displaystyle Lambda n ye funkciyeyu fon Mangoldta dd 2 p xlog pp log x O 1 displaystyle 2 quad sum p leqslant x frac log p p log x O 1 Bilsh togo p nlog pp log n textstyle sum p leqslant n frac log p p log n dlya bud yakogo naturalnogo chisla n displaystyle n za absolyutnim znachennyam ne perevishuye 2 dd 3 1xps t t2dt log x O 1 displaystyle 3 quad int 1 x frac psi t t 2 mathrm d t log x O 1 Tut ps x n 1xL n pk xlog p textstyle psi x sum n 1 x Lambda n sum p k leqslant x operatorname log p ye funkciyeyu Chebisheva dd 4 p x1p log log x M O 1log x displaystyle 4 quad sum p leqslant x frac 1 p log log x M O left frac 1 log x right Konstanta M displaystyle M nazivayetsya konstantoyu Majsselya Mertensa i vona ye rivnoyu dd M limn p Pn1p log log n g p P log 1 1p 1p g k 2 m k klog z k displaystyle M lim n to infty left sum p in mathbb P n frac 1 p log log n right gamma sum p in mathbb P left log left 1 frac 1 p right frac 1 p right gamma sum k 2 infty frac mu k k log zeta k dd dd de g 0 5772156649 displaystyle gamma 0 5772156649 ye konstantoyu Ejlera Maskeroni dd 5 limx log x p x 1 1p e g displaystyle 5 quad lim x to infty log x prod p leqslant x left 1 frac 1 p right e gamma LiteraturaChandrasekharan K Vvedenie v analiticheskuyu teoriyu chisel Moskva Mir 1974 187 s ros Apostol Apostol Tom M 1976 Introduction to analytic number theory Undergraduate Texts in Mathematics New York Heidelberg Springer Verlag ISBN 978 0 387 90163 3 MR 0434929 Zbl 0335 10001