Теорема Ляйбніца (геометрія)

Не плутати з теоремою Ляйбніца про збіжність знакозмінних рядів.

Теорема або формула Ляйбніца - твердження про медіани:

Медіани трикутника ${\displaystyle ABC}$ перетинаються в точці ${\displaystyle M}$. Для довільної точки ${\displaystyle O}$ площини виконується рівність ${\displaystyle AO^{2}+BO^{2}+CO^{2}=3OM^{2}+AM^{2}+BM^{2}+CM^{2}.}$

З теореми Ляйбніца випливає, що серед усіх точок площини (точка перетину медіан) є точкою, для якої сума квадратів відстаней до вершин трикутника має найменше значення.

Аналогічне твердження справедливе для тетраедра: сума квадратів відстаней від точки до вершин тетраедра мінімальна для його центроїда — характеристична властивість центроїда.

Також, з цієї теореми випливає формула для медіани тетраедра.

Примітки

1. Свойства центроида тетраэдра, теорема Лейбница
2. . Архів оригіналу за 20 січня 2009. Процитовано 12 серпня 2009.

Література

• , В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класс. 4-е изд. Изд-во Вита-Пресс, 2004. стр.67.
• В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, , , И. И. Юдина. Геометрия. Пособие для углубленного изучения математики. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005. 488с. стр.344-345.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 42. — ISBN 5-94057-170-0.
• Ловушка для треугольника. В.Дубровский, В.Сендеров (розглядаються узагальнення).
• Мадер В. В. Полифония доказательств. Учеб.пособие. М.: Мнемозина, 2009. 344 с.