Теорема Лохса

В теорії чисел, теорема Лохса — теорема про швидкість збіжності розкладу ланцюгового дробу типового дійсного числа. Доведення теореми було опубліковано Ґуставом Лохсом в 1964 році.

Теорема стверджує, що для практично всіх дійсних чисел в інтервалі (0,1) кількість членів m у розкладі ланцюгового дробу цього числа, необхідних для визначення перших n місць десяткового зображення числа асимптотично поводисться як:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {m}{n}}={\frac {6\ln(2)\ln(10)}{\pi ^{2}}}\approx 0.97027014}$ послідовність A086819 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Оскільки ця межа лише трохи менша одиниці, що можна інтерпретувати як те, що кожен додатковий термін у розкладі ланцюгового дробу «типового» дійсного числа збільшує точність наближення приблизно на одну десяткову позицію. Десяткова система є останньою позиційною системою запису, для якої кожна цифра містить менше інформації, ніж одна частка (коефіцієнт) ланцюгового дробу; перехід до 11-вої бази (зміна ${\displaystyle \ln(10)}$ на ${\displaystyle \ln(11)}$у рівнянні) робить вищевказане значення більшим одиниці.

Три типові числа, і золотий перетин. Типові числа знаходяться на лінії приблизно 45°, оскільки кожен коефіцієнт ланцюгового дробу дає приблизно одну десяткову цифру. Золотий претин з іншого боку, — це число, яке вимагає більшої кількости коефіцієнтів для кожної цифри

Відносно цього ліміту,

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6\ln(2)\ln(10)}}\approx 1.03064083}$ послідовність A062542 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS,

є вдвічі більшою за десятковий логарифм сталої Леві.

Яскравим прикладом числа, що не проявляє такої поведінки, є золотий перетин - іноді відоме як «найбільш ірраціональне» число — коефіцієнти ланцюгового дробу якого — всі одиниці, найменші можливі в канонічній формі. У середньому йому потрібно приблизно 2.39 коефіцієнтів ланцюгового дробу на кожну десяткову цифру

Джерела

1. Lochs, Gustav (1964), Vergleich der Genauigkeit von Dezimalbruch und Kettenbruch, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (German) , 27: 142—144, doi:10.1007/BF02993063, MR 0162753 (нім.)
2. Weisstein, Eric W. Lochs' Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld. (англ.)
3. Cooper, Harold. Continued Fraction Streams. Процитовано 16 лютого 2019. (англ.)