Теорема Куранта — Фішера

Теорема Куранта — Фішера — теорема про властивість ермітового оператора в гільбертовому просторі функцій. Також називається теоремою про мінімакс.

Формулювання

${\displaystyle \lambda _{k}=\inf \limits _{L_{k}}\sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}{\frac {(Ax,x)}{(x,x)}}}$

${\displaystyle A}$ — лінійний самоспряжений оператор, що діє в скінченновимірному комплексному або дійсному просторі,

${\displaystyle S}$ — одинична сфера,

${\displaystyle e=e_{1}\dots e_{n}}$ — ортонормований базис простору ${\displaystyle V}$, що складається з власних векторів оператора ${\displaystyle A}$,

${\displaystyle \lambda _{k}}$ — ${\displaystyle k}$-е власне значення оператора ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \dots \leq \lambda _{n}}$

${\displaystyle L_{k}}$ — ${\displaystyle k}$-вимірний підпростір ${\displaystyle V}$.

Доведення

${\displaystyle p=n-k+1}$, ${\displaystyle L_{k}}$ — ${\displaystyle k}$-вимірний підпростір ${\displaystyle V}$,${\displaystyle W_{n-k+1}}$ — лінійна оболонка векторів ${\displaystyle e_{k}\dots e_{n}}$. ${\displaystyle \dim L_{k}+\dim W_{n-k+1}=n+1}$. Звідки випливає, що ${\displaystyle L_{k}\cap W_{n-k+1}\neq {\varnothing }}$. Нехай ${\displaystyle x_{0}\in L_{k}\cap W_{n-k+1}}$ і ${\displaystyle \ \|x_{0}\|=1}$. Оскільки ${\displaystyle \lambda _{k}=\sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x),}$ то ${\displaystyle {\frac {(Ax_{0},x_{0})}{(x_{0},x_{0})}}\leq \lambda _{k}}$. З іншого боку: так як ${\displaystyle x_{0}\in L_{k}}$ то

${\displaystyle \inf \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)\leq \lambda _{k}}$

${\displaystyle \sup \limits _{L_{k}}\inf \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)\leq \lambda _{k}}$

Рівність досягається при ${\displaystyle L_{k}=L({e_{1}\dots e_{k}})}$.

Додатково

Очевидно, що ${\displaystyle \sup \limits _{L_{k}}\inf \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)=\inf \limits _{L_{n-k+1}}\sup \limits _{x\in L_{n-k+1}\cap S}(Ax,x)}$.

Див. також

• Відношення Релея

Примітки

1. Ли Цзун-дао. Математические методы в физике. — М.: Мир, 1965. — c. 190

Література

• Р. Беллман. Введение в теорию матриц
• Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
• Прасолов Задачи и теоремы линейной алгебры.
• Ильин, Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия