Теорема Котельникова-Шеннона

Теоре́ма ві́дліків Вітте́кера — На́йквіста — Коте́льникова — Ше́ннона (теорема відліків) свідчить, що якщо неперервний сигнал x(t) має спектр, обмежений частотою F_max, то його можна однозначно і без втрат відновити за дискретними відліками, узятими з частотою f_дискр=2*F_max, або, по-іншому, за відліками, взятими з періодом T_дискр=${\displaystyle {\frac {1}{2\cdot F_{max}}}}$.

Теорему відліків можна сформулювати обернено:

Для того, щоб відновити сигнал за його відліками без втрат, необхідно, щоб частота дискретизації була хоча б удвічі більшою за максимальну частоту первинного неперервного сигналу. F_д ≥ 2F_max.

Теорема відліків розглядає ідеальний випадок, коли сигнал почався нескінченно давно й ніколи не закінчиться, а також не має в часовій характеристиці точок розриву. Саме це означає поняття «спектр, обмежений частотою F_max».

Реальні сигнали скінченні в часі і, звичайно, мають у часовій характеристиці розриви, відповідно їхній спектр нескінченний. У такому випадку повне відновлення сигналу неможливе і з теореми відліків випливають 2 наслідки:

• Будь-який аналоговий сигнал можна відновити з якою завгодно точністю за його дискретними відліками, взятими з частотою ${\displaystyle f\;>\;2\Omega }$, де ${\displaystyle \Omega \;}$ — максимальна частота, якою обмежений спектр реального сигналу.
• Якщо максимальна частота в сигналі перевищує половину частоти дискретизації, то способу відновити сигнал з дискретного в аналоговий без спотворення не існує.

Теорему сформулював Гаррі Найквіст 1928 року в праці «Certain topics in telegraph transmission theory». 1933 року подібні дані опублікував В. О. Котельников у праці «Про пропускну здатність ефіру і дроту в електрозв'язку». Теорема є однією з основоположних тверджень у теорії й техніці цифрового зв'язку.

Див. також

• Інтерполяційна формула Віттекера — Шеннона

Публікації

• H. Nyquist, "Certain topics in telegraph transmission theory, " Trans. AIEE, vol. 47, pp. 617—644, Apr. 1928.
• Котельников В. А. О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи — Всесоюзный энергетический комитет.//Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности, 1933.
• C. E. Shannon, "Communication in the presence of noise, " Proc. Institute of Radio Engineers, vol. 37, no.1, pp. 10—21, Jan. 1949.

Посилання

• [[https://web.archive.org/web/20141018233156/http://webdemo.inue.uni-stuttgart.de/webdemos/02_lectures/uebertragungstechnik_1/sampling_theorem/ Архівовано 18 жовтня 2014 у Wayback Machine.] Sampling of analog signals] Інтерактивна презентація дискретизації. Institute of Telecommunications, University of Stuttgart