Теорема Гельдера

У математиці теорема Гельдера стверджує, що гамма-функція не задовольняє жодного ^[en], коефіцієнти якого є раціональними функціями. Вперше цей результат довів Отто Гельдер в 1887 році; згодом було знайдено декілька альтернативних доведень.

Теорема також узагальнюється на випадок ${\displaystyle q}$-гамма-функції.

Формулювання теореми

Для будь-якого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ не існує ненульового многочлена

${\displaystyle P\in \mathbb {C} [X;Y_{0},Y_{1},\dots ,Y_{n}]}$

такого, що

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}\colon \quad P{\big (}z;\Gamma (z),\Gamma '(z),\dots ,{\Gamma ^{(n)}}(z){\big )}=0,}$

де ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функція.

Наприклад, визначимо ${\displaystyle P\in \mathbb {C} [X;Y_{0},Y_{1},Y_{2}]}$ як

${\displaystyle P{\overset {\text{df}}{=}}X^{2}Y_{2}+XY_{1}+{\big (}X^{2}-\nu ^{2}{\big )}Y_{0}.}$

Тоді рівняння

${\displaystyle P{\big (}z;f(z),f'(z),f''(z){\big )}=z^{2}f''(z)+zf'(z)+{\big (}z^{2}-\nu ^{2}{\big )}f(z)\equiv 0}$

називається алгебраїчним диференціальним рівнянням, яке в даному випадку має розв'язки ${\displaystyle f=J_{\nu }}$ та ${\displaystyle f=Y_{\nu }}$ — функції Бесселя першого та другого роду відповідно; розв'язки ${\displaystyle J_{\nu }}$ та ${\displaystyle Y_{\nu }}$ називаються диференціально алгебраїчними (або алгебраїчно трансцендентними). Більшість знайомих спеціальних функцій математичної фізики є диференціально алгебраїчними. Усі алгебраїчні комбінації диференціально алгебраїчних функцій є диференціально алгебраїчними. Крім того, усі композиції диференціально алгебраїчних функцій є диференціально алгебраїчними. Теорема Гельдера просто стверджує, що гамма-функція ${\displaystyle \Gamma }$ не є диференціально алгебраїчною і, отже, ^[en].

Доведення

Нехай ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ і існує ненульовий многочлен ${\displaystyle P\in \mathbb {C} [X;Y_{0},Y_{1},\dots ,Y_{n}]}$ такий, що

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}:\qquad P{\big (}z;\Gamma (z),\Gamma '(z),\dots ,\Gamma ^{(n)}(z){\big )}=0.}$

Оскільки ненульовий многочлен в ${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$ ніколи не може бути нульовою функцію на будь-якій непорожній відкритій області в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (за основною теоремою алгебри), то не втрачаючи загальності можна вважати, що многочлен ${\displaystyle P}$ містить одночлен ненульового степеня від однієї із змінних ${\displaystyle Y_{0},Y_{1},\dots ,Y_{n}}$.

Припустимо, що ${\displaystyle P}$ має найнижчий можливий загальний степінь відносно лексикографічного впорядкування ${\displaystyle Y_{0}<Y_{1}<\dots <Y_{n}<X}$. Наприклад,

${\displaystyle \deg {\big (}{-}3X^{10}Y_{0}^{2}Y_{1}^{4}+iX^{2}Y_{2}{\big )}<\deg {\big (}2XY_{0}^{3}-Y_{1}^{4}{\big )},}$

оскільки найбільший степінь ${\displaystyle Y_{0}}$ в будь-якому одночлені першого многочлена менший ніж у другого многочлена.

Далі зауважимо, що для всіх ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}P\left(z+1;\Gamma (z+1),\Gamma '(z+1),\Gamma ''(z+1),\ldots ,\Gamma ^{(n)}(z+1)\right)&=P\left(z+1;z\Gamma (z),[z\Gamma (z)]',[z\Gamma (z)]'',\ldots ,[z\Gamma (z)]^{(n)}\right)\\&=P\left(z+1;z\Gamma (z),z\Gamma '(z)+\Gamma (z),z\Gamma ''(z)+2\Gamma '(z),\ldots ,z{\Gamma ^{(n)}}(z)+n{\Gamma ^{(n-1)}}(z)\right).\end{aligned}}}$

Якщо визначити другий многочлен ${\displaystyle Q\in \mathbb {C} [X;Y_{0},Y_{1},\dots ,Y_{n}]}$ за допомогою перетворення

${\displaystyle Q{\stackrel {\text{df}}{=}}~P(X+1;XY_{0},XY_{1}+Y_{0},XY_{2}+2Y_{1},\dots ,XY_{n}+nY_{n-1}),}$

то отримаємо наступне алгебраїчне диференціальне рівняння для ${\displaystyle \Gamma }$:

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}\colon \quad Q{\big (}z;\Gamma (z),\Gamma '(z),\dots ,{\Gamma ^{(n)}}(z){\big )}\equiv 0.}$

Більш того, якщо ${\displaystyle X^{h}Y_{0}^{h_{0}}Y_{1}^{h_{1}}\cdots Y_{n}^{h_{n}}}$ — одночлен найвищого степеня в многочлені ${\displaystyle P}$, то одночлен найвищого степеня в многочлені ${\displaystyle Q}$ має вигляд

${\displaystyle X^{h+h_{0}+h_{1}+\cdots +h_{n}}Y_{0}^{h_{0}}Y_{1}^{h_{1}}\cdots Y_{n}^{h_{n}}.}$

Отже, многочлен

${\displaystyle Q-X^{h_{0}+h_{1}+\cdots +h_{n}}}$

має менший загальний степінь ніж многочлен ${\displaystyle P}$, і оскільки він породжує алгебраїчне диференціальне рівняння для ${\displaystyle \Gamma }$, то він повинен бути нульовим многочленом за припущенням мінімальності многочлена ${\displaystyle P}$. Звідси визначаючи ${\displaystyle R\in \mathbb {C} [X]}$ як

${\displaystyle R{\overset {\text{df}}{=}}X^{h_{0}+h_{1}+\cdots +h_{n}},}$

отримаємо

${\displaystyle Q=P(X+1;XY_{0},XY_{1}+Y_{0},XY_{2}+2Y_{1},\ldots ,XY_{n}+nY_{n-1})=R(X)\cdot P(X;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}).}$

Тепер покладемо ${\displaystyle X=0}$ в многочлені ${\displaystyle Q}$:

${\displaystyle Q(0;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n})=P(1;0,Y_{0},2Y_{1},\ldots ,nY_{n-1})=R(0)\cdot P(0;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n})=0_{\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]}.}$

Після заміни змінних отримуємо

${\displaystyle P(1;0,Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})=0_{\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1},\dots ,Y_{n}]},}$

і застосовуючи принцип математичної індукції (разом із заміною змінних на кожному кроці індукції) до попереднього виразу, отримуємо

${\displaystyle P(X+1;XY_{0},XY_{1}+Y_{0},XY_{2}+2Y_{1},\ldots ,XY_{n}+nY_{n-1})=R(X)\cdot P(X;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n})}$

Таким чином,

${\displaystyle \forall m\in \mathbb {N} \colon \quad P(m;0,Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})=0_{\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1},\dots ,Y_{n}]}.}$

Це можливо лише, якщо ${\displaystyle P}$ ділиться на ${\displaystyle Y_{0}}$, але це суперечить припущенню про мінімальність многочлена ${\displaystyle P}$. Отже, такого многочлена ${\displaystyle P}$ не існує, і тому ${\displaystyle \Gamma }$ не є диференціально алгебраїчною. Що й треба було довести.

Література

1. Bank, Steven B. & Kaufman, Robert. “A Note on Hölder’s Theorem Concerning the Gamma Function”, Mathematische Annalen, vol 232, 1978.
2. Rubel, Lee A. “A Survey of Transcendentally Transcendental Functions”, The American Mathematical Monthly 96: pp. 777-788 (November 1989). JSTOR 2324840
3. Boros, George & Moll, Victor. Irresistible Integrals, Cambridge University Press, 2004, Cambridge Books Online, 30 December 2011. DOI:10.1017/CBO9780511617041.003