Теорема Біркгофа (теорія відносності)

Теорема Біркгофа — теорема в загальній теорії відносності, яка стверджує, що будь-який сферично-симетричний розв'язок рівняння Ейнштейна має бути статичним і асимптотично плоским. Це означає, що зовнішній розв'язок (тобто простір-час за межами сферичного, необертового, гравітуючого тіла) має задаватись метрикою Шварцшильда. Теорема, обернена до теореми Біркгофа, також є вірною і називається теоремою Ізраеля. В ньютонівській гравітації обернена теонема невірна.

Головна сторінка Arkiv för Matematik, Astronomi och Physik, де була опублікована робота Єбсена

Теорему було доведено в 1923 році Джорджем Девідом Біркгофом (автором іншої відомої теореми Біркгофа, поточкової ергодичної теореми, яка лежить в основі ергодичної теорії). Деякі дослідники вказують, що двома роками раніше теорему опублікував маловідомий норвезький фізик ^[en].

Інтуїтивне обґрунтування

Інтуїтивна ідея теореми Біркгофа полягає в тому, що сферично симетричне гравітаційне поле має створюватися деяким масивним об'єктом у початку координат. Якби була інша концентрація маси-енергії десь в іншому місці, це порушило б сферичну симетрію, тому ми можемо очікувати, що розв'язок представлятиме ізольований об'єкт. Тобто поле має зникати на великих відстанях, що ми частково маємо на увазі, кажучи, що розв'язок є асимптотично плоским.

Наслідки

Висновок про те, що зовнішнє поле також має бути стаціонарним, більш дивний і має цікавий наслідок. Припустимо, ми маємо сферично симетричну зорю фіксованої маси, яка виконує сферичні пульсації. Тоді теорема Біркгофа говорить, що зовнішня геометрія повинна бути геометрією Шварцшильда. Єдиним ефектом пульсації є зміна розташування поверхні зорі. Це означає, що сферично пульсуюча зоря не може випромінювати гравітаційні хвилі.

Узагальнення

Теорему Біркгофа можна узагальнити: будь-який сферично симетричний і асимптотично плоский розв'язок рівнянь поля Ейнштейна/Максвелла без ${\displaystyle \Lambda }$, має бути статичним, тому зовнішня геометрія сферично-симетричної зарядженої зорі має бути задана ^[en]. Зверніть увагу, що в теорії Ейнштейна-Максвелла існують сферично симетричні, але не асимптотично плоскі розв'язки, такі як Всесвіт Бертотті-Робінсона.

Примітки

1. Israel, Werner (25 грудня 1967). Event Horizons in Static Vacuum Space-Times. Physical Review. 164 (5): 1776—1779. Bibcode:1967PhRv..164.1776I. doi:10.1103/PhysRev.164.1776 — через American Physical Society.
2. Straumann, Norbert (2013). General Relativity. Graduate Texts in Physics (вид. 2nd). Springer Graduate texts in Physics. с. 429. Bibcode:2013gere.book.....S. doi:10.1007/978-94-007-5410-2. ISBN .
3. Padmanabhan, Thanu (1996). Cosmology and Astrophysics through problems. Cambridge University Press. с. 8, 150. ISBN .
4. Padmanabhan, Thanu (2015). 5. Sleeping beauties in theoretical physics: 26 Surprising insights. Lecture Notes in Physics. Т. 895. Springer Lecture notes in Physics. с. 57—63. Bibcode:2015sbtp.book.....P. doi:10.1007/978-3-319-13443-7. ISBN . ISSN 0075-8450.
5. J.T. Jebsen, Über die allgemeinen kugelsymmetrischen Lösungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen im Vakuum, Arkiv för matematik, astronomi och fysik, 15 (18), 1 — 9 (1921).
6. J.T. Jebsen, On the general symmetric solutions of Einstein's gravitational equations in vacuo, General Relativity and Cosmology 37 (12), 2253—2259 (2005).

Література

• Deser, S & Franklin, J (2005). Schwarzschild and Birkhoff a la Weyl. American Journal of Physics. 73 (3): 261—264. arXiv:gr-qc/0408067. Bibcode:2005AmJPh..73..261D. doi:10.1119/1.1830505.
• D'Inverno, Ray (1992). Introducing Einstein's Relativity. Oxford: Clarendon Press. ISBN . See section 14.6 for a proof of the Birkhoff theorem, and see section 18.1 for the generalized Birkhoff theorem.
• Birkhoff, G. D. (1923). Relativity and Modern Physics. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. LCCN 23008297.
• Jebsen, J. T. (1921). Über die allgemeinen kugelsymmetrischen Lösungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen im Vakuum (On the General Spherically Symmetric Solutions of Einstein's Gravitational Equations in Vacuo). Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik. 15: 1—9.