Тау число τ displaystyle tau число англ refactorable number це таке ціле число n displaystyle n яке ділиться на число св

Тау-число ( $\tau$ -число, англ. refactorable number) — це таке ціле число $n$ , яке ділиться на число своїх дільників, або, з точки зору алгебри, таке $n$ , що $\tau (n)|n$ .

Перші кілька тау-чисел:

1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88, 96.

Наприклад, тау-число 18, яке має шість дільників (1 і 18, 2 і 9, 3 і 6) і ділиться на 6.

Асимптотична щільність тау-чисел — нуль. Відомо, що жодні три послідовні цілі числа не можуть бути тау-числами. Крім того, Колтон довів, що жодне тау-число не є досконалим. Рівняння $(n,x)=\tau (n)$ (де $(n,x)$ — найбільший спільний дільник $n$ і $x$ ) має корінь тільки, якщо $n$ — тау-число.

Залишається розглянути кілька питань щодо тау-чисел:

чи існують як завгодно великі $n$ , для яких і $n$ , і $n+1$ є тау-числами
якщо існує тау-число $n_{0}\equiv a{\pmod {m}}$ , чи випливає з цього, що існує $n>n_{0}$ , таке що $n$ є тау-числом і $n\equiv a{\pmod {m}}$ .

^[en] і Роберт Кеннеді в 1990 році вперше виділили тау-числа. Вони встановили, що тау-числа мають нульову асимптотичну щільність. Пізніше Саймон Колтон за допомогою програми, яку він написав для відкриття і перевірки різних визначень в теорії чисел і теорії графів, підтвердив їх відкриття. Але Колтон назвав ці числа англ. refactorable. Це вперше, коли програма знайшла нову або раніше непомічену ідею. Колтон довів багато відомостей про тау-числа, показавши нескінченність їх ряду і кілька умов їх розподілу.

Примітки

послідовність A033950 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
J. Zelinsky, Tau Numbers: A Partial Proof of a Conjecture and Other Results [Архівовано 11 листопада 2020 у Wayback Machine.] // Journal of Integer Sequences, Vol. 5 (2002), Article 02.2.8
Cooper, C.N. and Kennedy, R. E. Tau Numbers, Natural Density, and Hardy and Wright's Theorem 437 // Internat. J. Math. Math. Sci. 13, 383—386, 1990
S. Colton, Refactorable Numbers — A Machine Invention [Архівовано 27 липня 2020 у Wayback Machine.] // Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), Article 99.1.2

[1] послідовність A033950 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

[2] J. Zelinsky, Tau Numbers: A Partial Proof of a Conjecture and Other Results [Архівовано 11 листопада 2020 у Wayback Machine.] // Journal of Integer Sequences, Vol. 5 (2002), Article 02.2.8

[3] Cooper, C.N. and Kennedy, R. E. Tau Numbers, Natural Density, and Hardy and Wright's Theorem 437 // Internat. J. Math. Math. Sci. 13, 383—386, 1990

[4] S. Colton, Refactorable Numbers — A Machine Invention [Архівовано 27 липня 2020 у Wayback Machine.] // Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), Article 99.1.2