T-розфарбування графа , задане множиною T невід'ємних цілих, що містить 0, — це функція , яка відображає кожну вершину графа G у додатне ціле (колір) так, що . Простими словами, абсолютне значення різниці між двома кольорами суміжних вершин повинно не належати фіксованій множині T. Концепцію запропонував Вільям К. Гейл. Якщо T = {0}, це зводиться до звичайного розфарбування вершин.
Додаткове розфарбування T-розфарбування c, яке позначається як , визначається для кожної вершини v графа G якде s — найбільший номер кольору, призначений вершині графа G функцією c.
T-хроматичне число
T-хроматичне число — це число кольорів, які можуть бути використані для T-розфарбування графа G. T-хроматичне число дорівнює хроматичному числу.
Доведення
Будь-яке T-розфарбування графа G є також розфарбуванням вершин графа G, так що . Припустимо, що і .
Якщо дана функція k-розфарбування вершин с у кольори 1, 2,..,k.
Ми визначимо як:
- .
Для будь-яких двох суміжних вершин u і w графа G
- ,
так що .
Таким чином, d є T-розфарбуванням графа G. Оскільки d використовує k кольорів, .
Отже, ■
T-розмах
Для T-розфарбування c графа G, c-розмах по всім V(G).
T-розмах графа G — це усіх розфарбовувань c графа G
Деякі межі T-розмаху наведені нижче: Для будь-якого k-розфарбування графа G з клікою розміру і будь-якою скінченною множиною T невід'ємних цілих чисел, що містить 0, .
Для будь-якого графа G і будь-якої скінченної множини T невід'ємних цілих чисел, що містить 0, найбільшим елементом якого є r, , .
Для будь-якого графа G і будь-якої скінченної множини T невід'ємних цілих чисел, що містить 0, потужність якої дорівнює t, . .
Примітки
- Chartrand, Zhang, 2009, с. 397–402.
- Hale, 1980, с. 1497–1514.
- Cozzens, Roberts, 1982, с. 191–208.
- Chartrand, Zhang, 2009, с. 399.
Література
- Gary Chartrand, Ping Zhang. 14. Colorings, Distance, and Domination // Chromatic Graph Theory. — CRC Press, 2009.
- Hale W. K. Frequency assignment: Theory and applications // Proc. IEEE. — 1980. — Т. 68.
- Cozzens M. B., Roberts F. S. T -colorings of graphs and the Channel Assignment Problem. — Congr. Numer., 1982. — Вип. 35.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
T rozfarbuvannya grafa G V E displaystyle G V E zadane mnozhinoyu T nevid yemnih cilih sho mistit 0 ce funkciya c V G N displaystyle c V G rightarrow mathbb N yaka vidobrazhaye kozhnu vershinu grafa G u dodatne cile kolir tak sho u w E G c u c w T displaystyle u w in E G Rightarrow left c u c w right notin T Prostimi slovami absolyutne znachennya riznici mizh dvoma kolorami sumizhnih vershin povinno ne nalezhati fiksovanij mnozhini T Koncepciyu zaproponuvav Vilyam K Gejl Yaksho T 0 ce zvoditsya do zvichajnogo rozfarbuvannya vershin Dva T rozfarbuvannya grafa dlya T 0 1 4 Dodatkove rozfarbuvannya T rozfarbuvannya c yake poznachayetsya yak c displaystyle overline c viznachayetsya dlya kozhnoyi vershini v grafa G yakc v s 1 c v displaystyle overline c v s 1 c v de s najbilshij nomer koloru priznachenij vershini grafa G funkciyeyu c T hromatichne chisloT hromatichne chislo x T G displaystyle chi T G ce chislo koloriv yaki mozhut buti vikoristani dlya T rozfarbuvannya grafa G T hromatichne chislo dorivnyuye hromatichnomu chislux T G x G displaystyle chi T G chi G Dovedennya Bud yake T rozfarbuvannya grafa G ye takozh rozfarbuvannyam vershin grafa G tak sho x T G x G displaystyle chi T G geqslant chi G Pripustimo sho x G k displaystyle chi G k i r m a x T displaystyle r max T Yaksho dana funkciya k rozfarbuvannya vershin c V G N displaystyle c V G rightarrow mathbb N s u kolori 1 2 k Mi viznachimo d V G N displaystyle d V G rightarrow mathbb N yak d v r 1 c v displaystyle d v r 1 c v Dlya bud yakih dvoh sumizhnih vershin u i w grafa G d u d w r 1 c u r 1 c w displaystyle left d u d w right left r 1 c u r 1 c w right r 1 c u c w r 1 displaystyle r 1 left c u c w right geqslant r 1 tak sho d u d w T displaystyle left d u d w right notin T Takim chinom d ye T rozfarbuvannyam grafa G Oskilki d vikoristovuye k koloriv x T G k x G displaystyle chi T G leqslant k chi G Otzhe x T G x G displaystyle chi T G chi G T rozmahDlya T rozfarbuvannya c grafa G c rozmah s p T c max c u c w displaystyle sp T c max c u c w po vsim u w displaystyle uw in V G T rozmah s p T G displaystyle sp T G grafa G ce min s p T c displaystyle min sp T c usih rozfarbovuvan c grafa G Deyaki mezhi T rozmahu navedeni nizhche Dlya bud yakogo k rozfarbuvannya grafa G z klikoyu rozmiru w displaystyle omega i bud yakoyu skinchennoyu mnozhinoyu T nevid yemnih cilih chisel sho mistit 0 s p T K w s p T G s p T K k displaystyle sp T K omega leqslant sp T G leqslant sp T K k Dlya bud yakogo grafa G i bud yakoyi skinchennoyi mnozhini T nevid yemnih cilih chisel sho mistit 0 najbilshim elementom yakogo ye r s p T G x G 1 r 1 displaystyle sp T G leqslant chi G 1 r 1 x T G x G displaystyle chi T G chi G Dlya bud yakogo grafa G i bud yakoyi skinchennoyi mnozhini T nevid yemnih cilih chisel sho mistit 0 potuzhnist yakoyi dorivnyuye t s p T G x G 1 t displaystyle sp T G leqslant chi G 1 t x T G x G displaystyle chi T G chi G PrimitkiChartrand Zhang 2009 s 397 402 Hale 1980 s 1497 1514 Cozzens Roberts 1982 s 191 208 Chartrand Zhang 2009 s 399 LiteraturaGary Chartrand Ping Zhang 14 Colorings Distance and Domination Chromatic Graph Theory CRC Press 2009 Hale W K Frequency assignment Theory and applications Proc IEEE 1980 T 68 Cozzens M B Roberts F S T colorings of graphs and the Channel Assignment Problem Congr Numer 1982 Vip 35