Сітка Вульфа

Сітка Вульфа в кристалографії — стереографічна екваторіальна проєкція градусної сітки сфери з розташованого на її екваторі центра проєкції, здійснювана на площину меридіана, віддаленого на 90° від вибраного центру. Цей меридіан називають основним меридіаном сітки. Меридіани і паралелі сітки Вульфа грають допоміжну роль як проєкції дуг великих і малих кіл сфери. Точки сходження меридіанів називають полюсами сітки; відрізок прямої, що з'єднує полюси сітки, називають віссю сітки; відрізок прямої, рівновіддалений від полюсів і перпендикулярний до осі, називають екватором сітки.

Екваторіальна сітка Вульфа з кроком координат 10°

Всі побудови і перетворення з використанням сітки Вульфа проводяться на кальці, на яку переносять центр сітки, її основний меридіан, вісь і екватор, а також наносять точки, сферичні координати яких потрібно перетворити. Повороти кальки виконують зі збереженням центрування відносно сітки.

Сітку Вульфа зазвичай будують із кроком координат 2°.

Метод винайшов кристалограф Георгій Вульф.

Приклади застосування

Сітка Вульфа дозволяє графічно, без додаткових розрахунків розв'язувати багато задач геометричної кристалографії, пов'язаних із кутовими характеристиками кристалів, а також навігаційні та астрометричні задачі.

За допомогою сітки Вульфа будується стереографічна екваторіальна проєкція точки, заданої своїми сферичними координатами ${\displaystyle \phi }$₁ і ${\displaystyle \rho }$₁. Поворотом кальки навколо центра сітки на необхідний кут з урахуванням його знака отримують кінцеві координати точки ${\displaystyle \phi }$₂ і ${\displaystyle \rho }$₂ на сітці. Залежно від класу розв'язуваних задач, координати точок на сітці можуть задаватися по-різному.

У кристалографії прийнято такий порядок зазначення координат: кути ${\displaystyle 0^{\circ }\leq \phi <360^{\circ }}$ відраховують по колу сітки Вульфа, додатний напрямок — за годинниковою стрілкою, починаючи від правого кінця її екватора; кути ${\displaystyle 0^{\circ }\leq \rho \leq 180^{\circ }}$ — уздовж осі й екватора, від центра сітки, при цьому діапазон ${\displaystyle 90^{\circ }<\rho \leq 180^{\circ }}$ відповідає проєкціям точок, що лежать під площиною основного меридіана. Центр сітки відповідає координатам ${\displaystyle \rho =0^{\circ }}$ і ${\displaystyle \rho =180^{\circ }}$; правий кінець екватора — ${\displaystyle \rho =90^{\circ },\phi =0^{\circ }}$; лівий кінець екватора — ${\displaystyle \rho =90^{\circ },\phi =180^{\circ }}$; «верхній» полюс — ${\displaystyle \rho =90^{\circ },\phi =270^{\circ }}$; «нижній» полюс — ${\displaystyle \rho =90^{\circ },\phi =90^{\circ }}$.

У геодезичному, навігаційному або астрографічному застосуванні сітки прийнято такий порядок зазначення координат: кути ${\displaystyle -90^{\circ }\leq \phi \leq +90^{\circ }}$, відповідні широті, схиленню або висоті над горизонтом, відраховуються по колу сітки Вульфа, додатний напрямок — за годинниковою стрілкою, починаючи від лівого кінця її екватора; кути ${\displaystyle 0^{\circ }\leq \lambda <360^{\circ }}$, відповідні довготі, прямому сходженню або годинному куту — уздовж екватора сітки від правого його кінця. Положення точок з координатами ${\displaystyle \lambda >180^{\circ }}$ знаходять за правилом ${\displaystyle 360^{\circ }-\lambda }$. Центр сітки має координати ${\displaystyle \lambda =90^{\circ }}$ і ${\displaystyle \lambda =270^{\circ }}$.

У контексті розв'язків навігаційних задач сітка може представляти необхідну систему сферичних координат, наприклад, екваторіальну, тоді Північний полюс відображається на верхній полюс сітки, Південний полюс — на нижній полюс сітки, небесний екватор — на екватор сітки; меридіан спостерігача збігається з основним меридіаном сітки. Зеніт і надир містяться в точках, відповідних географічній широті місця розташування спостерігача: в точках ${\displaystyle (\phi ,\lambda =180^{\circ })}$ і ${\displaystyle (-\phi ,\lambda =0^{\circ })}$ відповідно. В цьому випадку уздовж основного меридіана відраховуються схилення світил, а уздовж екватора сітки — годинний кут.

За використання горизонтальної системи координат — зеніт і надир містяться у відповідних полюсах сітки, екватор сітки відповідає істинному горизонту спостерігача. Меридіан спостерігача збігається з основним меридіаном сітки. Полюси світу містяться на основному меридіані в точках ${\displaystyle (90^{\circ }-\phi )}$ і ${\displaystyle (-90^{\circ }+\phi )}$ відповідно. Точка півночі (N) відображається на правий кінець екватора, точка півдня (S) — на лівий, точки сходу і заходу — в центр сітки. В цьому випадку уздовж основного меридіана сітки (від точки півдня) відраховують висоти світил над горизонтом; уздовж екватора сітки (від точки Півночі) — справжні пеленги світил.

Поворотом кальки навколо центра сітки на відповідний кут проводиться перетворення координат світила з горизонтальної в екваторіальну систему координат і назад.

Спосіб побудови сітки Вульфа

Порядок побудови сітки Вульфа

Скористаємося тією властивістю стереографічної екваторіальної проєкції, що меридіани й паралелі сітки Вульфа є дугами кіл.

Накресліть коло радіуса ${\displaystyle R}$ із центром у точці ${\displaystyle C}$, побудуйте два взаємно-перпендикулярних діаметри ${\displaystyle P_{1}-P_{2}}$ і ${\displaystyle Q_{1}-Q_{2}}$. Додатні значення кута ${\displaystyle \phi }$ відраховують за годинниковою стрілкою від точки ${\displaystyle Q_{2}}$. Вибравши бажаний крок координатної сітки, знайдіть на колі ${\displaystyle P_{1}Q_{2}P_{2}Q_{1}}$ допоміжну точку ${\displaystyle A_{\phi }}$, яка відміряє на колі дугу ${\displaystyle Q_{2}-A_{\phi }}$, кратну вибраному кроку за кутом ${\displaystyle \phi }$. Знайдіть на промені ${\displaystyle C-P_{2}}$ допоміжну точку ${\displaystyle O_{\phi }}$, що лежить на відстані ${\displaystyle r_{\phi }={\frac {R}{\tan \phi }}}$ від точки ${\displaystyle A_{\phi }}$. Взявши точку ${\displaystyle O_{\phi }}$ за центр, прокресліть від точки ${\displaystyle A_{\phi }}$ дугу радіусом ${\displaystyle r_{\phi }}$ всередині кола; паралель широти ${\displaystyle \phi }$ побудовано. Паралелі другої половини сітки будують так само, але кути ${\displaystyle \phi }$ відраховують від точки ${\displaystyle Q_{1}}$ і допоміжні точки розташовують на промені ${\displaystyle C-P_{1}}$.

Для побудови меридіанів сітки з вибраним кроком, обчислюйте положення допоміжної точки ${\displaystyle O_{\lambda }}$, що лежить на промені ${\displaystyle C-Q_{2}}$ на відстані ${\displaystyle r_{\lambda }={\frac {R}{\sin \lambda }}}$ від будь-якого полюса. Взявши точку ${\displaystyle O_{\lambda }}$ за центр, прокресліть між полюсами ${\displaystyle P_{1}}$ і ${\displaystyle P_{2}}$ дугу радіусом ${\displaystyle r_{\lambda }}$; меридіан довготи ${\displaystyle \lambda }$ побудовано. Меридіани другої половини сітки будують так само, але допоміжні точки розташовують на промені ${\displaystyle C-Q_{1}}$.

Див. також

• Стереографічна сітка

Посилання

• Вульфа сетка // Большая советская энциклопедия : в 30 т. / главн. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : «Советская энциклопедия», 1969—1978. (рос.)
• Вульф Г.В. Способ графического решения задач по космографии и математической географии. — Нижний Новгород, 1909.